Все статьи

Подкатегории

Новости

291 статей

О Физтехе

1 подкатегорий

15 статей

Факультеты и базовые кафедры

1 подкатегорий

11 статей

Московский политех

2 подкатегорий

22 статей

От винта!

16 статей

Статьи

  • Список литературы
    1. Черноуцан А.И. Краткий курс физики Под ред. А.А. Леоновича. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 224 с.
    2. Козел С.М. Физика. 10-11 классы: пособие для учащихся и абитуриентов. В 2 ч. Ч.2. / С.М. Козел – М.: Мнемозина, 2010. – 400 с.
  • §6. Ядерная физика
    Протонно-нейтронное строение атомных ядер. Изотопы.

    По современным представлениям ядра атомов состоят из положительно заряженных протонов и электрически нейтральных нейтронов, массы каждого из которых примерно равны друг другу и значительно превосходят массу электрона (в 1836  и  1839  раз  соответственно). Ввиду близости масс протона и нейтрона, `m_p~~m_n~~1,67*10^(-27)` кг, их объединяют общим названием «нуклон» (от английского слова nuclei – ядро). Соотношение между числом протонов `Z` и числом `(A-Z)` нейтронов в ядре XZA{}_Z^AX, где `A` – общее число нуклонов в ядре (массовое число) данного химического элемента `X`, может варьироваться в некоторых (не слишком широких) пределах.

    Атомы, ядра которых содержат одинаковое число протонов (а потому и одинаковое число электронов), но разное число нейтронов, называют изотопами химического элемента. Например, ядра изотопов углерода C612{}_6^{12}\mathrm C и C614{}_6^{14}\mathrm C содержат одинаковое число протонов `Z=6`, но разное число нейтронов: `12-6=6` и `14-6=8` соответственно. Ядра C612{}_6^{12}\mathrm C стабильны, ядра C614{}_6^{14}\mathrm C нестабильны (радиоактивны). Другой пример: известны `3` изотопа водорода – H1{}^1\mathrm H, H2=D{}^2\mathrm H=\mathrm D (дейтерий, его ядро называется дейтроном)  и H3=T{}^3\mathrm H=\mathrm T (тритий, его ядро называется тритоном). Дейтрон состоит из протона и нейтрона, тритон – из протона и двух нейтронов. Первые два изотопа водорода стабильны, 3-й нестабилен. Конкретные ядра атомов веществ называют нуклидами; ядра радиоактивных изотопов – радионуклидами.

    Размеры ядер

    Радиус атомного ядра  с массовым числом `A` можно оценить по формуле `R=1,3A^(1//3)*10^(-15)` м. Между протонами в ядре существует сильное электростатическое отталкивание. Удерживают их вместе в малом объёме ядра так называемые ядерные силы.

    Превращения ядер

    Кроме довольно многочисленных стабильных ядер, в природе существует большое число (а ещё больше получено искусственно) нестабильных ядер, которые самопроизвольно превращаются в другие ядра (говорят: распадаются).

    `alpha`-распад ядер. При `alpha`-распаде исходное материнское ядро испускает ядро гелия He4{}^4\mathrm{He} (`alpha`-частицу) и превращается в дочернее ядро, числа протонов и нейтронов у которого уменьшаются на две единицы каждое. Спонтанному (без внешнего воздействия) `alpha`-распаду подвержены тяжёлые ядра с `Z >83` и небольшая группа редкоземельных элементов в области `A=140-160`.

    `beta`-распад ядер – процесс самопроизвольного превращения ядра в ядро с тем же значением `A`, но с изменением `Z` на `DeltaZ=+-1` за счёт испускания электрона (или позитрона – частицы, отличающейся от электрона лишь знаком электрического заряда) или захвата электрона с атомной оболочки.

    Деление ядер характерно только для самых тяжёлых ядер, начиная от тория `(Z=90)` и далее в сторону больших `Z`. Впервые деление ядер наблюдали и дали правильную трактовку эксперименту Ган и Штрассман (1938). Опыты были проведены с ядрами урана `(Z=92)`, которые бомбардировались медленными нейтронами. В результате образовывалась пара ядер с примерно равными массами, а в качестве «мелких брызг» вылетали два-три нейтрона. Последние имеют достаточно большие энергии и чаще всего не вызывают деления соседних ядер урана (подчеркнём: лучше всего деление урана происходит под действием медленных, а не быстрых нейтронов). Однако, если эти «два-три нейтрона» замедлить, они уже легко вызывают деление других ядер. Так возникает цепная реакция деления.

    Термоядерный синтез лёгких элементов.  При высоких температурах (порядка `10^7` K) возможны реакции слияния легких ядер с образованием более тяжёлых ядер. Высокие температуры необходимы, потому что все ядра заряжены положительно, и для сближения ядер требуется преодолевать силы электростатического отталкивания ядер друг от друга. В термоядерных реакциях происходит значительное выделение энергии, с избытком компенсируя её начальные затраты (получение высоких температур).

    Энергия связи

    По определению энергией связи `E_"св"` называют минимальную энергию, которую нужно сообщить ядру, чтобы полностью расщепить его на составляющие это ядро `Z` протонов и `N=A-Z` нейтронов. Она равна разности

    `E_"св"(Z,A)=(Zm_p+Nm_n-M_"ядра"(Z,A))c^2`

    Закон радиоактивного распада.

    Ядра радиоактивных изотопов элементов самопроизвольно распадаются с превращением в ядра изотопов других элементов. (Например, ядра изотопа углерода C614{}_6^{14}\mathrm C в результате `beta`-распада превращаются в ядра изотопа азота N714{}_7^{14}\mathrm N.) Первые из них называют материнскими (или родительскими) ядрами, а ядра вторых – дочерними. 

    В результате самопроизвольных распадов радиоизотопа число `N(t)` его ещё не распавшихся ядер с течением времени непрерывно уменьшается. Изменение числа не распавшихся ядер за малое время `dt` пропорционально числу этих не распавшихся ядер

                           `dN=-lambdaNdt`,                                                                          (6.1)

    где `lambda` – постоянная распада размерности `1`/с. Решая уравнение (6.1), находим зависимость числа не распавшихся ядер от времени:

                             `N(t)=N_0e^(-lambdat)`,                                                                  (6.2)

    где `N_0` – число ядер в начальный момент времени `t=0`. Если значения `N_0` и `lambda` известны, то по измеренному значению `N(t)` можно найти время, в течение которого происходил распад:

                         `t=1/lambda ln(N_0/(N(t)))`.                                                                (6.3)

    На этом основан метод определения «возраста» пород в геологии и «возраста», например, артефактов (продуктов деятельности человека) в археологии. Использование этого метода предполагает, что ни материнские, ни дочерние ядра не исчезают и не появляются иначе как в результате самого радиоактивного процесса.

    Величину `tau=1/lambda` называют средним временем жизни радиоактивного ядра. Удобной характеристикой радиоактивного распада является период полураспада. Так называют время `T` (в литературе чаще используется более громоздкое обозначение `T_(1//2)`), в течение которого количество не распавшихся ядер уменьшается вдвое:  `N(T)=N_0//2`, т. е. `N_0e^(-lambdat)=N_0//2`, откуда, логарифмируя, получаем соотношение между константой распада и периодом полураспада

                 `T=(ln2)/lambda~~(0,693)/lambda`.                                                       (6.4)

    Пользуясь понятием периода полураспада, закон радиоактивного распада можно представить в виде

         `N(t)=N_0*2^(-t//T)`.                                                        (6.2')

    Активностью радиоизотопа называют величину

                    `A=-dN//dt`,                                                                  (6.5)

    определяющую интенсивность распадов (число распадов в единицу времени). С учётом (6.1) и (6.2) находим

    `A=lambdaN=lambdaN_0e^(-lambdat)=A_0e^(-lambdat)`,                                        (6.6)

    т. е., не только число не распавшихся ядер, но и их активность экспоненциально убывает со временем, где

                                                   `A_0=lambdaN_0`                                                                            (6.7)

    `A_0` – активность в начальный момент времени  `t=0`.

    Для определения времени `t` в методах датирования кроме формулы (6.3) может быть использована формула

                                  `t=1/lambda ln(A_0/(A(t)))`,                                                         (6.8)

    при этом экспериментально измеряются активности `A_0` и `A(t)`. Последнее время отдают предпочтение прямому измерению `N(t)` и формуле (6.3) (как методу более точному и требующему меньших затрат времени).

    Пример 6.1

    В цепочке радиоактивных превращений после `5` бета-распадов и нескольких альфа-распадов ядро тяжёлого элемента превращается в ядро устойчивого атома, порядковый номер которого на `13` меньше первоначального. На сколько меньше первоначального становится массовое число ядра?

    Решение

    Пусть `N_alpha` и `N_beta` – числа `alpha`- и `beta`- распадов в цепочке. Тогда изменение зарядового числа ядра (порядкового номера элемента) `DeltaZ=-2N_alpha+N_beta=-2N_alpha+5=-13`, откуда находим `N_alpha=9`. Изменение массового числа `DeltaA=-4N_alpha=-36`.

    Пример 6.2

    Период полураспада радиоактивного изотопа йода I53131{}_{53}^{131}\mathrm I составляет `T=8` суток. За какое время `t` число ядер этого изотопа уменьшится в `100` раз?

    Решение

    По формуле (6.2')  `2^(-t//T)=1//100`, откуда `t=T log_2 100~~53` сут.

    Пример 6.3

    При прохождении потока нейтронов через пластинку свинца толщиной `d_1=1`мм количество частиц уменьшилось на `eta=15%`. Найти долю `delta` нейтронов, проходящих через пластинку свинца толщиной `d_2=10` мм.

    Решение

    Доля частиц, прошедших пластинку `d_1`, составляет `1-eta=0,85`. Если за первой пластинкой поставить точно такую же вторую, то через неё пройдёт `85%` от прошедших первую пластинку, т. е. `(1-eta)^2~~0,72` `(72%)` от начального числа нейтронов. Если поставить одну за другой `10` пластинок `d_1` `(d_2=10d_1)`, то через них пройдёт `(1-eta)^(10)=(0,85)^(10)~~0,20` `(20%)` от числа частиц в исходном потоке.

    Пример 6.4

    Мощность реактора постоянна и равна `P=1` МВт. За какое время первоначальная масса `m_0=10` кг урана U92235{}_{92}^{235}\mathrm U уменьшится на `2%`? В одном акте деления высвобождается энергия `W~~190` МэВ. Постоянная Авогадро `N_A~~6*10^(23)  "моль"^(-1)`,  `1` эВ `=1,6*10^(-19)` Дж.

    Решение

    Энергия, полученная в реакторе за время `t`, равная `P*t`, может быть выражена через энергию, высвобождаемую в одном акте деления `W` и число `N` распавшихся за это время ядер урана U92235:{}_{92}^{235}\mathrm U: `P*t=W*N`. Последнее число связано с уменьшением на `|Deltam|=0,02m_0` первоначальной массы урана `m_0` и массой одного атома урана `m_1=mu//N_A`, где `mu=235*10^(-3)` кг/моль – молярная масса урана `-235`,  `N_A=6,02*10^(23)` `1`/моль - число Авогадро: `N=(|Deltam|)/m_1~~5,12*10^(23)`. В итоге

    `t=(W*N)/P=(5,12*10^(23)*190*10^6*1,6*10^(-19))/(10^6)=1,56*10^7  "c"~~180`суток`~~0,5`года.

    Пример 6.5

    Сколько энергии выделяется в реакции H12+H13=He24+n01{}_1^2\mathrm H+{}_1^3\mathrm H={}_2^4\mathrm{He}+{}_0^1\mathrm n? Массы частиц равны: дейтерия `= 2,01410` а.е.м., трития `=3,01605` а.е.м., гелия-`4` `=4,00260` а.е.м., нейтрона `1,00866` а.е.м., `1` а.е.м.`*c^2=931,50` МэВ.

    Решение

    Выделившаяся энергия равна

    `E=(2,01410+3,01605-4,00260-1,00866)*931,50` МэВ `=17,6` МэВ.

    Пример 6.6

    Термоядерная реакция H12+H13=He24+n01{}_1^2\mathrm H+{}_1^3\mathrm H={}_2^4\mathrm{He}+{}_0^1\mathrm n идёт с выделением энергии `Q=17,6` МэВ.  Найти распределение энергии между продуктами реакции. Кинетическими энергиями дейтерия и трития до реакции пренебречь (по сравнению с выделившейся энергией). Считать, что масса протона примерно равна массе нейтрона `m_n~~m_p`,  а масса ядра гелия `M~~4m_"p"`.

    Решение

    Выделившаяся энергия порядка `10^7` эВ значительно меньше энергии покоя частиц (последняя порядка `m_"p"c^2~~10^9` эВ, т. е. на `2` порядка больше). Это позволяет вести рассмотрение в рамках нерелятивистской механики Ньютона.

    Запишем для реакции  закон сохранения импульса в системе отсчёта, в которой до реакции суммарный импульс равнялся нулю, `0=4m u+m upsilon` (*) и выражение для кинетической энергии продуктов распада `(4m u^2)/2+(m upsilon^2)/2=Q` (**). Решая систему уравнений (*) и (**), находим `(4m u^2)/2=1/5 Q~~3,5` МэВ и `(m upsilon^2)/2=4/5 Q~~14,1` МэВ, т. е. `80%` энергии уносится более лёгкой частицей.

  • §5. Планетарная модель атома Резерфорда и теория атома водорода Бора

    Исторически первой моделью атома была, по-видимому, модель атома Томсона (1902). В ней предполагалось, что в простейшем атоме – атоме водорода – положительный заряд, равный по модулю заряду электрона, равномерно распределён внутри шара радиусом порядка `R=10^(-10)` м, а электрон в невозбуждённом атоме покоится в центре шара. Роль положительного заряда была пассивной: он всегда покоился, двигался (колебался) лишь электрон. Однако эта модель не смогла объяснить основных закономерностей излучения и поглощения света атомами (см. Пример 5.1).

    На смену модели Томсона пришла модель атома, предложенная Резерфордом (1911). Согласно этой модели атом похож на солнечную систему: в центре располагается очень маленькое по размеру положительно заряженное атомное ядро (диаметром порядка `10^(-14)` м), вокруг которого вращаются, как планеты по орбитам, отрицательно заряженные электроны. Масса ядра много больше массы электронов, что позволяет считать ядро в первом приближении неподвижным. Радиусы орбит и размеры атомов порядка `10^(-10)` м, т. е., грубо говоря, на `4` порядка больше размеров ядра. Последнее обстоятельство позволяет говорить о почти точечном ядре. В нормальном состоянии положительный заряд ядер по модулю в точности равен суммарному отрицательному заряду всех электронов атома, так что в целом атом электрически нейтрален. При отрыве электрона от атома возникает ион – положительно заряженная частица.

    Модель Резерфорда многое прояснила, например, в экспериментах по рассеянию так называемых `alpha`-частиц (ядер атомов гелия). Но у неё (как и у её предшественницы – модели Томсона) был один существенный изъян: физики знали, что при любом ускоренном движении заряженной частицы она будет излучать электромагнитное излучение, а излучая, терять энергию. Поэтому электрон в атоме, двигаясь по непрямым траекториям, т. е. ускоренно, довольно быстро должен просто упасть на ядро.  Но этого  не происходит!  Почему? Непонятно.

    Некое решение проблемы в 1913 г. предложил Бор. Его теория атома водорода в модели Резерфорда была почти квантовой. Почему «почти квантовой»? Дело в том, что местами теория была практически ньютоновской. Однако на движение электрона насильственно накладывались некие квантовые условия. Скорее всего, от такого странного гибрида классических и квантовых представлений просто отмахнулись бы, но теория блестяще описывала экспериментальные данные (по крайней мере, для атома водорода). А от этого не отмахнёшься!

    Бор постулировал (предположил), что если электрон в атоме движется по неким избранным (стационарным) орбитам, то он не излучает. (Почему-то!) Излучение происходит лишь при переходах электронов с одной орбиты на другую. Бор постулировал, что при переходах с одной стационарной орбиты на другую электрон излучает квант света, частота излучения которого определяется (в духе Планка и Эйнштейна) из формулы

                  \hbar`omega=E_"нач"-E_"конечн"`.                                                        (5.1)

    Атом может не только излучать, но и поглощать кванты света. При этом происходит переход электрона с орбиты с меньшей энергией на орбиту с большей; для этого частота поглощенного атомом излучения `omega` должна удовлетворять условию:

    \hbar`omega=E_"конечн"-E_"нач"`.                                                        (5.1')

    Как определить эти выделенные (стационарные) орбиты электронов в атоме?

    Основы теории Бора атома водорода таковы. Считается, что в электрически нейтральном атоме водорода в центре располагается протон с положительным зарядом `Q=+e`, где `e=1,602xx10^(-19)` Кл – так называемый элементарный заряд, вокруг  которого   движется   отрицательно  заряженный  электрон   с  зарядом `q=-e`. Единственная сила между ними – сила кулоновского притяжения, сообщающая электрону центростремительное ускорение. В простейшем случае движение будет происходить по круговой орбите (после Бора физиками рассматривались и другие орбиты – эллиптические). В уравнении движения электрона

                            `(mv^2)/R=ke^2/R^2`,                                                                  (5.2)

    где `k=1/(4pivarepsilon_0)~~9xx10^9  "H"*"м"^2//"Кл"^2`, имеем пока две неизвестные – скорость электрона `v` и радиус орбиты `R`. Бор дополнил классическое уравнение (5.2) квантовым условием: момент импульса электрона на стационарных орбитах кратен перечёркнутой постоянной Планка:

                                  `mvR=n`\hbar,                                                               (5.3)

    где $\cancel h$$`=h//(2pi)~~1,055*10^(-34)` Джс`*"c"`, `n=1,2,3,…`. Таким образом, по предположению Бора имеется счётное число особых, выделенных условием (5.3), орбит. Чтобы получить конкретные значения радиусов орбит, скоростей электронов на них и возможные значения энергий электронов в атоме, нужно решить систему уравнений (5.2) – (5.3).

    Разделим уравнение (5.2) на уравнение (5.3) (левую часть – на левую, правую – на правую). В результате сразу получаем набор всех возможных скоростей электрона в атоме водорода:

                        vn=14πε0e21nv_n=\dfrac1{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{\hbar}\dfrac1n.                                                                (5.4)

    Подставляя (5.4) в (5.3), находим набор возможных радиусов орбит электрона:

                Rn=4πε0=2me2n2R_n=4\pi\varepsilon_0=\dfrac{{\hbar^2}}{me^2}n^2.                                                         (5.5)

    Энергия электрона складывается из его кинетической энергии и потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром (кинетической энергией ядра пренебрегаем, считая его практически покоящимся):

                   `E=(mv^2)/2-k e^2/R=-k e^2/(2R)`                                                  (5.5')

    (учтено уравнение (5.2)). Окончательно получаем:

                 En=-14πε02me4221n2=E1n2E_n=-\left(\dfrac1{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\dfrac{me^4}{2{\hbar^2}}\dfrac1{n^2}=\dfrac{E_1}{n^2}.                                                                    (5.6)

    Исторически теория Бора атома водорода (1913) предшествовала гипотезе де Бройля о волнах материи (1925). С появлением последней, однако, появилась новая любопытная и плодотворная интерпретация квантовых условий Бора (5.3). Умножим левую и правую части (5.3) на `2pi` и разделим на `p=m upsilon`: получаем `2piR=nh//p`. Или с учётом формулы де Бройля (4.1)

    `2piR=nlambda`,                                                             (5.3')

    т. е. для стационарных боровских орбит длина орбиты равна целому числу длин волн де Бройля электрона (см. рис.6 для `n=4`).

    *Пример 5.1

    В модели атома Томсона (1902г.) предполагалось, что в атоме водорода положительный заряд, равный по модулю заряду электрона, равномерно распределён внутри шара радиусом порядка `R=10^(-10)` м. В невозбуждённом атоме электрон покоится в центре шара. Чему равен период колебаний  электрона при малом его смещении из центра? Считать, что колебания происходят вдоль диаметра внутри шара.

    Решение

    При отклонении электрона из центра на расстояние `r<R` на электрон будет действовать сила со стороны лишь части положительного заряда, ограниченного сферой радиуса `r`. Величина этого заряда равна `q(r)=rho(4pi)/3r^3`, где `rho` – объёмная плотность заряда, которую можно найти по формуле `rho=e/((4pi)/3R^3)`. В итоге, `q(r)=r^3/R^3 e`. На электрон при его отклонении от центра на расстояние `r` начнёт действовать сила, равная по величине `1/(2pivarepsilon_0)*(e*q(r))/r^2=1/(4pivarepsilon_0)*e^2/R^3 r` и направленная к центру, т. е. возникнет возвращающая сила, пропорциональная величине отклонения от положения равнове-сия – в точности, как в случае гармонического осциллятора. Роль коэффициента жесткости при этом играет величина `k=1/(4pivarepsilon_0)*e^2/R^3`. Тогда по формуле для периода колебаний `T=2pisqrt(m/k)` находим частоту колебаний

    `nu=1/T~~2,5xx10^(15)` Гц.

    Итак, по модели Томсона электрон в атоме колеблется с одной единственной частотой (у гармонического осциллятора иного быть не может). Ей соответствует длина волны излучения `lambda=c//nu~~0,1` мкм. В действительности, в экспериментах видят, что атом водорода излучает свет многих разных частот. Это и вынудило физиков отказаться от модели Томсона.


    Пример 5.2

    Оценить скорость электрона на `1`-ой боровской орбите. Во сколько раз она меньше скорости света в вакууме?

    Решение

    По формуле (5.4) имеем v1=14πε0e22,2×106v_1=\dfrac1{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{\hbar}\approx2,2\times10^6 м/с. Эта скорость примерно в `137` раз меньше скорости света в вакууме. Именно поэтому теория атома основывается на нерелятивистской механике. (Релятивистские эффекты в ней всё же бывают важны. Но их изучение существенно выходит за рамки программы школьной физики.)

    Пример 5.3

    Во сколько раз уменьшится радиус орбиты электрона в атоме водорода, если при переходе атома из одного стационарного состояния в другое кинетическая энергия электрона увеличивается в `16` раз?

    Решение

    Согласно формуле (5.2) кинетическая энергия электрона `(m upsilon^2)/2=k e^2/(2R)` обратно пропорциональна радиусу орбиты электрона: увеличению в `16` раз кинетической энергии электрона может привести лишь `16`-ти-кратное уменьшение радиуса орбиты.

    Пример 5.4

    Каков номер возбуждённого состояния, в которое переходит атом водорода из нормального состояния при поглощении фотона, энергия которого составляет `8//9` энергии ионизации атома водорода?

    Решение

    Энергией ионизации называют минимальную энергию, которую нужно сообщить электрону, находящемуся в состоянии с наименьшей энергией (говорят: в основном состоянии), чтобы он, преодолев силы притяжения со стороны ядра, покинул атом. Потенциальная энергия электрона при удалении его на бесконечность обращается в нуль. Нулю же будет равна и кинетическая энергия электрона (по условию минимальности затрат энергии). В атоме водорода согласно формулам (5.6)  `I=|E_1|=1/(4pivarepsilon_0)*e^2/(2R_1)`.

    По условию задачи энергия фотона равна `E_n-E_1=8/9|E_1|`, откуда

    `E_n=8/9|E_1|+E_1=8/9|E_1|-|E_1|=-1/9|E_1|=E_1/3^2`,  т. е. `n=3`.

    Пример 5.5

    Какие спектральные линии водорода могут появиться, если его облучать электронами с энергией `12,5` эВ?

    Решение

    Оценим разности энергий. Полагая `E_1~~–13,6` эВ `-= -I`, имеем

    `E_n=-I//n^2`,  `E_2-E_1=3/4I~~10,2` эВ,

    `E_3-E_1=8/9I~~12,1` эВ,  `E_4-E_1=15/16 I~~12,8` эВ, 

    остальные разности энергий будут ещё больше. Лишь первые две разности энергий оказались меньше энергии налетающих электронов (12,5 эВ). Поэтому из основного состояния `(n=1)` электроны атома электронным ударом налетающих электронов могут быть возбуждены лишь до состояний с `n=2` и `n=3`. Эти возбуждённые электроны спустя короткое время будут опускаться вниз по энергии: из состояния `n=2` прямо в состояние с `n=1`, а из состояния с `n=3` двумя возможными путями – либо прямо в состояние с `n=1`, либо – в два прыжка вниз – сначала в состояние с `n=2`, а уже из него в состояние с `n=1`. В результате: возможны излучения 3-х квантов света с частотами

    `nu_(32)=(E_3-E_2)/h`, `nu_(21)=(E_2-E_1)/h` и `nu_(31)=(E_3-E_1)/h`.

    Им будут соответствовать длины волн излучения:

      `lambda_(32)=c/nu_(32)=658` нм,  `lambda_(21)=c/nu_(21)=122`нм, 

     `lambda_(31)=c/nu_(31)=103` нм.


    Пример 5.6

    В рамках теории Бора определить радиус наименьшей орбиты электрона в ионе `bb"He"^+`.

    Решение

    В уравнении движения электрона `(mv^2)/R=k(e^2)/(R^2)` (5.2)  и  в  формуле для энергии `E=(mv^2)/2-k e^2/R=-k e^2/(2R)` (5.6) нужно заменить заряд протона `e` на заряд ядра `Ze` (для гелия `Z=2`). В результате для скоростей электрона на стационарных орбитах получаем формулу

      vn=14πε0Ze21nv_n=\dfrac1{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Ze^2}{\hbar}\dfrac1n,                                                                                         (5.4')

    для радиусов орбит

                       Rn=4πε02Zme2n2R_n=4\pi\varepsilon_0\dfrac{\hbar^2}{Zme^2}n^2,                                                                      (5.5')

    а для возможных значений энергий

       En=-14πε02Z2me4221n2E_n=-\left(\dfrac1{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\dfrac{Z^2me^4}{2{\hbar^2}}\dfrac1{n^2}.                                                                           (5.6')

    Полагая, `Z=2` и `n=1` (наименьшая орбита; основное состояние), получаем числовые значения этих величин: `v_(1"He")~~4,4xx10^6` м/с, `R_(1"He")~~0,26xx10^(-10)` м и `E_(1"He")~~-54,4` эВ.



  • §4. Волны де Бройля

    В 1924 г. Луи де Бройль высказал гипотезу, что волновыми свойствами обладают не только фотоны, но и все частицы вообще. Поначалу эта идея казалась совершенно абсурдной, и только высокое происхождение спасло де Бройля от «побития камнями». Эйнштейн же поддержал идею! Де Бройль распространил формулы Планка – Эйнштейна для энергии `varepsilon=hnu` и для импульса

                                        `p=h//lambda`                                                                        (4.1)

    на любые частицы. Было, правда, непонятно, что колеблется в волне де Бройля. (Что понимать под частотой для шарика? Что такое длина волны для него?) В случае звука всё понятно – колеблются частицы воздуха, в случае света – напряжённости электрического и магнитных полей.  А что в случае частицы?  Была гипотеза, что так, периодически в пространстве и во времени, изменяется плотность, например, электрона (мол, электрон – не точка, а что-то более или менее размазанное в пространстве). Но эта гипотеза не выдержала «испытания на прочность». Тем не менее, спустя всего лишь год после появления гипотезы де Бройля экспериментаторам удалось наблюдать дифракцию электронов! Тем самым было доказано прямым способом, что с электроном связан некий волновой процесс. Но какой? Всё-таки волны де Бройля – это волны чего? Физики ещё долго об этом спорили, притом очень горячо. (В чём-то ситуация здесь напоминает ситуацию с теорией дифракции света: Френель многое объяснил, но неправильно понимал, что такое световая волна. Это волна чего? Гению было достаточно и неправильного понимания!)

    После работ де Бройля в физике утвердился корпускулярно-волновой дуализм для всех частиц материи. Физики по-прежнему во многих случаях рассуждали, например, об электроне, как о малюсеньком шарике (даже – точке), но в некоторых случаях (таких как дифракция электронов) приходилось рассуждать о нём как о волне. Аналогично – с другими частицами (протонами, нейтронами). По современным представлениям (Борн, 1926) волна де Бройля – это, грубо говоря, волна вероятности того, что частицу можно найти в заданной точке пространства. Шредингер в 1926 г. существенно развил идею де Бройля: он показал, как можно вычислять дебройлевскую волну электрона в различных физических ситуациях. В результате появилась квантовая теория атомов, молекул, кристаллов (металлов и полупроводников)… . Появились транзисторы, микросхемы, компьютеры, мобильники и всё, всё, всё!

    Пример 4.1

    Какой кинетической энергией должны обладать электрон и нейтрон, чтобы их длины волны де Бройля были равны `0,1` нм `= 10^(-10)` м? (Эта длина порядка размеров атомов большинства химических элементов.) Массы электрона и нейтрона равны `m= 0,911xx10^(-30)` кг и `М =1,67xx10^(-27)` кг. Сравнить также импульсы частиц.

    Решение

    Для электрона

     `K_e=p^2/(2m)=((h//lambda)^2)/(2m)=((6,63*10^(-34))^2)/(2*0,911*10^(-30)(10^(-10))^2)=2,41*10^(17)  "Дж"=`

    `=(2,41*10^(-17))/(1,60*10^(-19))  "эВ"~~150 "эВ"`. 

    Эта энергия много меньше энергии покоя электрона `mc^2` (примерно равной `0,5` МэВ), поэтому мы вправе были пользоваться нерелятивистской формулой для кинетической энергии.

    Для нейтрона получаем кинетическую энергию еще меньше:

    `K_n=((h//lambda)^2)/(2M)=((6,63*10^(-34))^2)/(2*1,67*10^(-27)(10^(-10))^2)~~1,3*10^(-20)  "Дж"~~0,08  "эВ"`.

    Импульсы частиц равны друг другу, т.к. вычисляются по одной и той же формуле де Бройля `p=h//lambda` (4.1)  для одной и той же длины волны.

    Пример 4.2

    Электроны в рентгеновской трубке ускоряются разностью потенциалов `U=10` кВ. Оценить длину волны де Бройля электрона.

    Решение

    Кинетическая энергия, которую приобретает электрон, равная `eU=10` кэВ`=10^4` эВ, много меньше энергии покоя электрона (примерно `0,5` МэВ `=5xx10^5` эВ), поэтому можно пользоваться формулами механики Ньютона (а не теории относительности):

    `eU=p^2/(2m)=((h//lambda)^2)/(2m)`,

    откуда находим `lambda=h/(sqrt(2meU))~~1,23*10^(-11)` м.  Эта длина меньше размеров самого маленького атома (диаметр атома гелия порядка `0,6xx10^(-10)` м).

    Пример 4.3

    Почему макроскопические объекты (даже и очень маленькие) не показывают волновых свойств? Оценить среднеквадратичную скорость капельки тумана с радиусом `0,1` мкм, взвешенной в воздухе при комнатной температуре. Оценить длину волны де Бройля такой капельки.

    Решение

    Среднеквадратичная скорость `v_"ср.кв"` капельки массой `m` связана с температурой `T` соотношением `(mv_"ср.кв."^2)/2=3/2kT`, где `k~~1,38xx10^(-23)` постоянная Больцмана. Отсюда находим скорость `v_"ср.кв."=sqrt((3kT)/m)`, где `m=rho*(4pi)/3 r^3` (`rho=10^3  "кг"//"м"^3` - плотность воды).

    Подставляя `r=10^(-7)` м, получаем массу капли `m~~4,2xx10^(-18)` кг; для среднеквадратичной скорости тогда при `T=300` K  получаем оценку

    `v_"ср.кв."~~0,054` м/с `~~5,4` см/с.

    Этой скорости соответствует импульс `p=mv_"ср.кв."`, а по формуле де Бройля этому импульсу отвечает длина волны          

    `lambda=h/(mv_"ср.кв.")~~2,9xx10^(-15)` м.

    Это – очень маленькая длина: она много меньше размеров самых маленьких атомов (порядка `10^(-10)` м). Она даже меньше размеров атомных ядер. Волны де Бройля (как и любые другие волны) могли бы проявить себя в опытах по интерференции или дифракции. Но для этого размеры объектов, на которых бы они дифрагировали, должны быть сопоставимы с длиной волны. Понятно, что весьма затруднительно построить объект размером меньше атомного ядра. Поэтому частицы с такими маленькими длинами волн, как у капель тумана, просто никак не могут проявить своих волновых свойств.


  • §3. Фотоэффект. Фотоны

    Вырывание электронов из вещества под действием света (электромагнитного излучения) называют фотоэлектрическим эффектом (или просто – фотоэффектом, но есть и более точное название: «внешний фотоэлектрический эффект», подчеркивающее, что электроны вырываются наружу). Для изучения фотоэффекта используют вакуумную лампу, включённую по схеме на рис. 3, с холодным катодом (при этом можно пренебречь термоэмиссией электронов).

        

    Облучая катод светом определённой частоты и интенсивности, строят зависимость силы тока от напряжения между катодом и анодом (говорят: снимают вольтамперную характеристику лампы.) Типичная кривая из тех, которые при этом получаются, показана на рис. 4.

    Что же оказалось необъяснимым электродинамикой Максвелла в фотоэффекте? Понятно, что электрический ток будет  тем  больше,  чем  большее  число электронов будет вырвано из катода. Ясно, что чем больше интенсивность света, тем больше будет  таких  электронов. Это, можно сказать, видели (ток насыщения `I_"нас"` растёт при увеличении интенсивности света). Но возникли неприятности. Если на анод подать отрицательный по отношению к катоду потенциал, то в лампе возникнет задерживающее электроны электрическое поле. При этом не все электроны, вылетевшие с катода, смогут достичь анода и дать ток. Мяч, брошенный вверх, вскоре упадёт вниз. Он может и не долететь до 10-го  этажа. Мячу для этого  нужно  сообщить достаточно  большую скорость. Чтобы электроны достигли анода, они при вылете из катода тоже должны (при «минусе» на аноде) иметь достаточно большую скорость, т. е. большую кинетическую энергию. Ожидалось, что эта энергия  будет пропорциональна интенсивности света (квадрату напряжённости электрического поля в волне, которое,  как  считалось,  разгоняет электроны). На  опыте такой закономерности не обнаружили. Видели другое: энергия электронов, вырванных светом из катода, увеличивается не с ростом интенсивности, а с ростом частоты света. Причём чем меньше частота, тем меньшее задерживающее поле на аноде надо прикладывать, чтобы прекратился ток. А при частотах, меньших некоторой (разной для разных веществ), электроны вообще нельзя вырвать из катода (при этом говорят о «красной границе фотоэффекта»).

    Эйнштейн в 1905 г. весьма элегантно объяснил фотоэффект, предположив, что свет частоты `nu`, падающий на катод, представляет собой поток частиц, каждой из которых он приписал (в духе формулы Планка) энергию `varepsilon=hnu`. Позже эти частицы назвали фотонами. Когда какой-нибудь из фотонов достигает катода, он встречает какой-нибудь электрон катода. Фотон может быть мгновенно поглощен этим электроном. Энергия `hnu` в результате переходит к электрону, и у электрона появляется возможность преодолеть силы, удерживающие его в катоде. При этом, правда, расходуется часть приобретённой энергии на совершение работы `A` против удерживающих сил (говорят о работе выхода электрона). В итоге кинетическая энергия вылетевших электронов оказывается равной

                        `(mv^2)/2=hnu-A`.                                                                              (3.1)


    Эту формулу называют формулой Эйнштейна для фотоэффекта. (Уточнение. Формула (3.1) даёт максимальную энергию вылетевших электронов. Если электрон поглотит фотон не у самой поверхности катода, то он по дороге к поверхности может растерять часть энергии. В результате его энергия на выходе из катода будет меньше, чем `hnu-A`. А вот набрать по дороге энергию за счёт столкновений с другими электронами ему будет, оказывается, весьма затруднительно. Но в этом физики разобрались чуть позже.)

    В конце концов, именно с формулировкой «за работы по фотоэффекту и другие работы по теоретической физике» Эйнштейн получил Нобелевскую премию по физике. Но это было уже в 1925 г. Не надо думать, что все физики тут же с восторгом ухватились за идею Эйнштейна, что свет есть поток частиц (фотонов). Родоначальник теории квантов Планк, представляя Эйнштейна Берлинской академии наук, говорил примерно так: «Не будьте слишком строги к нашему молодому коллеге за то, что он иногда говорит о свете как о потоке частиц». К тому же, какую  частоту мы приписываем частице? Частоту колебаний чего? Эйнштейн  осознавал эту трудность. Он понимал, что представление света в виде потока фотонов  – не просто возврат к корпускулярной теории света Ньютона. В том же 1905 г. вышла его основополагающая статья по теории относительности, которая называлась «К электродинамике движущихся сред», в которой он был … последовательным сторонником электродинамики Максвелла (с его электромагнитной природой света). Эйнштейн (и другие физики) сознавал, что тогдашняя картина мира – временная, и не всё физикам в ней пока до конца понято. Эта ситуация в физике получила название корпускулярно-волновой дуализм (двойственность) для света: при трактовке фотоэффекта свет удобно считать потоком частиц; при объяснении явлений интерференции и дифракции – волновым процессом.

    Но и просто распространение света часто удобно рассматривать как поток частиц. Например, при распространении световой волны большой интенсивности вдоль прямой (луч) можно, как и в случае газа, говорить о средней концентрации `n` частиц (фотонов) в единице объёма, о плотности потока nc этих частиц (количестве частиц, пересекающих поверхность площадью `1  "м"^2` за одну секунду перпендикулярно поверхности; считаем, что все фотоны движутся со скоростью света в вакууме `c`), о плотности энергии в световой волне `w=nxxhnu`, о плотности потока энергии в световой волне `I=ncxxhnu`.

    Простую трактовку при этом получает и такое сложное явление, как давление света, падающего на поверхность (экспериментально открытое нашим соотечественником Лебедевым). Дело в том, что согласно теории относительности, частицам, движущимся со скоростью света, следует приписать нулевую массу, но отличный от нуля импульс `p=varepsilon//c=hnu//c=h//lambda`. Для световой волны с частотой `nu` имеем тогда плотность потока импульса `ncxx(hnu//c)=nhnu`, что в точности совпадает с плотностью энергии фотонного газа.

    Если все фотоны поглощаются поверхностью (чёрная поверхность), то импульс всех этих фотонов передаётся поверхности. Если `1  "м"^2` поверхности за `1` с поглощает от фотонов `nhnu` импульса перпендикулярного поверхности, то по формуле закона Ньютона `Deltap//Deltat=F` это и есть сила со стороны фотонов, действующая на поверхность. Однако раз речь идёт об `1  "м"^2`,  значит, величина `nhnu` совпадает с давлением. Если все фотоны отражаются от поверхности (как от зеркала), то модуль изменения импульса каждого из фотонов `Deltap_1` будет в `2` раза больше, чем  при поглощении:

    `2hnu//c(Deltap_1=p_(1"отраж")-p_(1"падающ")=-hnu//c-hnu//c)`.

    Соответственно, давление света на зеркальную поверхность будет равно уже  `2nhnu`.

    Пример 3,1

    На катод фотоэлемента падает световой поток мощность `P=0,02` Вт. На каждые `N=10` квантов света, упавших на катод, в среднем приходится один выбитый фотоэлектрон. Определить силу тока насыщения фотоэлемента. Длина волны света `lambda=2xx10^(-7)` м.

    Решение

    Пусть `dotN_e` - число электронов, выбиваемых с фотокатода в единицу времени. В условиях насыщения все электроны, вырванные из катода, достигают анода, т. е. все вносят вклад в ток. Поэтому сила тока `I=edotN_e`, где `e=1,6xx10^(-19)` Кл – элементарный заряд. Формулу для силы тока перепишем в виде `I=edotN_(ph)//N` (где `N=10`), выразив её через число фотонов `dotN_(ph)`, падающих каждую секунду на катод. Последнее число связано с мощностью светового потока `dotN_(ph)=P/(varepsilon_(ph))=P/(hc//lambda)~~2xx10^(16)` `1`/с. Тогда `dotN_e~~2xx10^(15)`  `1`/с и окончательно `I~~0,3` мА.

    Пример 3,2

    Катод фотоэлемента освещается монохроматическим светом. При задерживающем напряжении между катодом и анодом `U_1=1,6` В ток в цепи прекращается. При изменении длины волны света в `k=1,5` раза потребовалось подать задерживающую разность потенциалов `U_2=3` В. Определить работу выхода электрона из материала катода.

    Решение

    Пусть `A` – искомая работа выхода. Задерживающее напряжение определяется условием, что электроны, вылетающие с катода с ненулевой скоростью `(lambda<lambda_max)`, тормозясь электрическим полем лампы, но долетев до анода, теряют всю свою кинетическую энергию, – она переходит в потенциальную: `(mv^2)/2=-e(-U)` (1). Запишем для двух длин волн света формулу Эйнштейна для фотоэффекта: `(hc)/lambda_1=A+eU_1` (2) и `(hc)/lambda_2=A+eU_2` (3). Меньшей длине волны фотонов соответствует большая их энергия `varepsilon=hnu=(hc)/lambda`, большая энергия электронов, вылетающих с фотокатода, и соответственно, большее запирающее напряжение: `(hc)/(2lambda_1//3)=A+eU_2` (3'), или ещё иначе `(hc)/lambda_1=2/3A+2/3eU_2` (3''). Вычитая последнее равенство из уравнения (2), получаем

    `A=e(2U_2-3U_1)=exx1,2` В `= 1,2` эВ.


    *Пример 3,3

    Излучение аргонового лазера с длиной волны `lambda=500` нм сфокусировано на плоском фотокатоде в пятно диаметром `d=0,1` мм. Работа выхода фотокатода `A=2` эВ. На анод, расположенный на расстоянии `l=30` мм от катода, подано ускоряющее напряжение `U=4` кВ. Найти диаметр пятна фотоэлектронов на аноде. Анод считать плоским и расположенным параллельно поверхности катода.

    Решение

    Диаметр пятна `D` на аноде задают электроны, которые вылетают с катода почти параллельно поверхности катода (см. рис. 5): `D=d+2vtau`, где `v` – максимальная скорость электронов, вылетающих с фотокатода, `tau` – время пролёта электронами расстояния  между  катодом  и  анодом. Скорость найдём из    фор-мулы   Эйнштейна  для   фотоэффекта

    `(mv^2)/2=h c/lambda-A`,

    откуда `v=sqrt(2/m(hc/lambda-A))~~4,13*10^5` м/с. Эта скорость много меньше скорости света в вакууме `c`, поэтому нет необходимости пользоваться сложными формулами теории относительности. (На самом деле нужно будет ещё проверить, что и скорость электрона вблизи анода будет много меньше, чем `c`, что мы сделаем в конце.)

    Время `tau` найдём из формулы для равноускоренного движения `l=(atau^2)/2`, где по 2-му закону Ньютона для электрона в постоянном и однородном электрическом поле `a=(eE)/m=(eU)/(ml)~~2,34*10^(16)  "м"//"с"^2`. (Обратите внимание на порядок величины ускорения электрона! Во сколько раз оно больше ускорения свободного падения!) Подстановка этого значения в формулу для времени `tau=sqrt((2l)/a)` даёт  `tau~~1,60*10^(-9)` c.

    Окончательно для диаметра пятна на аноде получаем `D~~1,42` мм.

    Проверим ещё, не разгоняются ли электроны электрическим полем до скоростей, близких к скорости света. Двигаясь ускоренно, электрон перед подлетом к аноду приобретет компоненту скорости, перпендикулярную аноду, равную `v_(_|_)=atau~~3,74*10^7` м/с. Компонента скорости, параллельная аноду, будет такой же, как при вылете из катода, и т. к. она много меньше, чем `v_(_|_)`, то электроны будут подлетать к аноду почти перпендикулярно ему со скоростью, равной примерно `v_(_|_)~~3,74*10^7` м/с. Это – совсем не маленькая скорость. Всё же она оставляет лишь `12,5%` от скорости света в вакууме.

    Пример 3,4

    Чувствительность сетчатки глаза человека к жёлтому свету (`lambda=0,6` мкм) составляет `P=2xx10^(-18)` Вт. Сколько фотонов должно ежесекундно поглощаться сетчаткой, чтобы создавалось ощущение восприятия света?

    Решение

    Пусть `dotN` – искомое число фотонов.  Тогда количество энергии, поглощаемое в единицу времени сетчаткой глаза, равно `P=hnu*dotN=hc/lambda*dotN`. Отсюда получаем  `dotN=(Plambda)/(hc)=6` фотонов в одну секунду.

    Пример 3,5

    Солнечная батарея космической станции площадью `S=50  "м"^2` ориентирована перпендикулярно направлению на Солнце. Она отражает половину падающего на неё солнечного излучения. Чему равна сила давления (в мкН) излучения на батарею, если мощность излучения, падающего на `1 "м"^2` поверхности, равна `I=1,4` кВт?

    Решение

    Изменение импульса одного отражённого фотона равно

    `Deltap_(1"отраж")=p_"отраж"-p_"пад"=(-p)-p=-2p`, где `p=h//lambda=hnu//c` -

    импульс падающего на поверхность фотона. Пусть на всю поверхность батареи перпендикулярно поверхности каждую секунду `(Deltat=1` c`)` падает `dotN` фотонов. Изменение импульса всех `dotN//2` отражённых фотонов равно `Deltap=-2p*dotN//2=-p*dotN`. Это изменение импульса по 2-му закону Ньютона вызывается силой, равной `f_1=Deltap//Deltat=-(hnu//c)dotN` со стороны батареи. Тогда по 3-му закону Ньютона отраженные фотоны действуют на батарею с силой `F_1=(hnu//c)dotN`.

    Аналогично для поглощённых `dotN//2` фотонов. Изменение импульса одного поглощённого фотона равно `Deltap_"поглощ"=0-p_"пад"=-p`; изменение импульса всех `dotN//2` поглощённых фотонов равно `Deltap=-p*dotN//2`. Соответственно, поглощённые фотоны действуют на батарею с силой `F_2=(hnu//c)dotN//2`.

    Суммарная сила на солнечную батарею со стороны всех (и отражённых, и поглощённых) фотонов равна тогда `F=F_1+F_2=3(hnu//c)dotN//2` (*). Полное число `dotN` падающих на батарею за `1` с фотонов найдём по формуле для мощности излучения, падающего на `1  "м"^2`поверхности: `I=(dotN*hnu)/S` (**), откуда получаем `dotN=(I*S)/(hnu)`. Согласно (*) находим выражение для силы, действующей на батарею: `F=3/2 (IS)/c` (***). Подстановка чисел даёт значение силы  `F=3,5xx10^(-4)"H"=350` мкН. Мы получили очень небольшую величину. (Опыты Лебедева, изучавшего давление света, были чрезвычайно тонкими!) Световое давление, однако, не всегда мало. Например, в атомной бомбе давление излучения порядка `10^(11)` атм `~~10^(16)` Па.

    Замечание 

    При выводе формулы `F=3/2 (IS)/c` (***) мы рассуждали о фотонах определённой частоты `nu` (определённой длины волны `lambda`). Но световая волна от Солнца содержит широких спектр (набор) фотонов различной частоты! Строго говоря, формула (***) справедлива для каждой компоненты в спектре излучения (со своей частотой). Но интенсивность в световой волне от Солнца равна сумме интенсивностей различных компонент спектра (волны с разными  частотами не интерферируют друг с другом): `I=I_(nu1)+I_(nu2)+I_(nu3)+...`. Просто складываются друг с другом поэтому и силы на солнечную батарею станции со стороны фотонов разной частоты, летящих от Солнца: `F=F_(nu1)+F_(nu2)+F_(nu3)+...`.


  • §2. Кванты энергии Планка

    Начиная с конца XVII века, в физике сосуществовали, грубо говоря, два представления о свете – как о потоке неких частиц (корпускулярная теория Ньютона) и как о некоем волновом процессе (Гюйгенс). У каждого из представлений были свои достоинства и недостатки, свои сторонники и противники. Весь XVIII век шли споры между сторонниками двух теорий. К началу XIX века трудами, прежде всего, Юнга и Френеля победу стала одерживать волновая теория, естественным образом объяснившая явления интерференции и дифракции. «Естественным» – не значит «лёгким», «элементарным». Добавим к этому, что Юнг и Френель, строго говоря, рассуждали о непонятном волновом процессе (ими не было понято, что именно колеблется в световой волне). Лишь в 60-е годы XIX века появилась теория электромагнетизма Максвелла и его же электромагнитная теория света, по которой в световой волне колеблются векторы напряжённости электрического и магнитного полей. Теория Максвелла окончательно утвердилась в статусе теории, а не гипотезы, после опытов Герца (в конце XIX в.).

    Макс Планк был ярым сторонником электромагнитной теории Максвелла и его теории света в частности. Когда он приступил к изучению так называемого «излучения абсолютно чёрного тела» (АЧТ), он не мог и предвидеть, чем это закончится. Речь идёт об электромагнитном излучении, всегда существующем внутри любой полости. Если оно выходит из него через малое отверстие, говорят об «излучении абсолютно чёрного тела».

    Для вывода некоей формулы (спектра излучения АЧТ) Планку в 1900 г. пришлось сделать революционный шаг – предположить, что поглощение и испускание энергии происходит не непрерывно, но некими минимальными порциями, квантами. Планк представлял себе стенки полости как набор неких гармонических осцилляторов с разными частотами. Современных представлений об атомном строении вещества тогда ещё не было. Но Планку и другим физикам удалось доказать, что от конкретной модели вещества выводы не зависят, поэтому в рассуждениях можно пользоваться любой удобной моделью.

    Для вывода некоей важной формулы, согласующейся с экспериментом (это было существенно!), Планку пришлось предположить, что осциллятор с частотой `nu` может иметь не любые значения энергии из непрерывного набора значений энергии, но лишь вполне определённые (дискретные) значения, даваемые формулой

                   `E_n=(n+1//2)hnu`,                                                                             (2.1)

    которая теперь называется формулой Планка, где `n = 0,1,2,3  …`,  частота колебаний, `h` – константа, называемая ныне постоянной Планка. По современным измерениям `h~~6,63xx10^(-34)` Дж`*`с.

    Для Планка идея квантов была актом отчаяния. Он долгое время считал, что это – лишь предположение, упрощающее вывод формул, и что со временем можно будет вывести формулы из классических соображений (без всяких скачков по энергии). В последующие годы он сделал несколько попыток такого вывода, но все они оказались безуспешными. Идею квантов с большим воодушевлением подхватили другие физики (Бор, Гейзенберг, Паули, Дирак), чьими трудами и было построено здание квантовой теории.

    Пример 2.1

    Почему в обыденной жизни мы не чувствуем квантования энергии? Представим шарик массой `m = 10` г, колеблющийся на пружинке. Пусть шарику, первоначально покоившемуся в положении равновесия, сообщили скорость `v= 10` см/с, и максимальное его отклонение от положения равновесия составило `A = 10` см.

    1) Оцените, какому числу `n` квантов соответствует энергия шарика.

    2) На сколько надо увеличить скорость шарика `v_0`, чтобы увеличение энергии составило один квант энергии, т. е. `DeltaE=hnu`?

    Решение

    Число `n` можно найти по формуле для полной энергии `(mv_0^2)/2=(n+1/2)hnu`, откуда `n=(mv_0^2)/(2hnu)-1/2~~(mv_0^2)/(2hnu)`. (Мы пренебрегли `«1//2»` т. к. вскоре убедимся, что первое слагаемое чрезвычайно велико.) Частоту найдём по формуле `nu=1/(2pi)sqrt(k/m)`, где `k` – коэффициент жёсткости пружины. Последний определился бы из закона сохранения энергии: `(mv_0^2)/2=(kA^2)/2`. Мы не станем искать `k`, а найдём сразу частоту `nu=1//pi*v_0/A~~0,16` Гц. Тогда для `n` получаем чудовищно большое число `n~~5xx10^(29)`. С чем можно сравнить его? Например, в одном кубометре воды содержится примерно `3xx10^(28)` молекул воды, т. е. на порядок меньше. Но когда мы отливаем воду даже очень малыми порциями, мы вовсе не задумываемся о точном числе «отлитых» молекул. Долгое время люди вообще не знали о том, что вещества состоят из молекул и атомов. Вода казалась непрерывной субстанцией. Считалось, что можно отлить сколь угодно малую часть воды. Теперь мы знаем, что не можем отлить менее одной молекулы моды. Но это нас нисколько не смущает: мы никогда и не отливаем `3`, `100` или даже миллион молекул. Мы всегда отливаем значительно большее число молекул. В капле воды радиусом `1` мм содержится `1,4xx10^(20)` молекул. Думать, что мы можем проконтролировать убыль или прибавление числа молекул воды в её кубометре даже на миллиард – чистая фантазия. Говорить о «кванте» воды (о молекуле) в обыденной жизни, конечно, можно, но большинство людей спокойно без этого обходятся.

    Точно так же люди долгое время не подозревали ни о каком квантовании энергии. В обычной механике энергию всегда  считали непрерывной величиной. Добавление шарику на пружинке даже малой (по обыденным меркам) порции энергии означает увеличение числа `n` сразу на огромное значение.

    Чтобы ответить на второй вопрос в задаче, запишем формулу для приращения энергии гармонического осциллятора при увеличении квантового числа `n` на единицу:

    `h((n+1)+1/2)nu-h(n+1/2)nu=hnu=m/2((v_0+Deltav_0)^2-v_0^2)=`

    `=m(v_0*Deltav_0+((Deltav_0)^2)/2)~~mv_0*Deltav_0`,

    откуда получаем

    v0=hνmv0=hv0/2πAmv0=h2πmA=mA10-31\triangle v_0=\dfrac{h\nu}{mv_0}=\dfrac{hv_0/\left(2\pi A\right)}{mv_0}=\dfrac h{2\pi mA}=\dfrac{\hbar}{mA}\approx10^{-31} м/с, 

    где      \hbar`=h/(2pi)~~1,06*10^(-34)` Дж`*`с.

    Понятно, что с такой точностью задать начальную скорость (чтобы она отвечала строго определённому числу `n`) для обычного шарика на пружинке не представляется возможным. Ситуация, однако, меняется при переходе к миру атомов. У электрона, например, масса `m=0,9xx10^(-30)` кг, и характерные амплитуды `A` его движения (порядка `10^(-10)` м) чрезвычайно малы. Поэтому по формуле v0=mA\triangle v_0=\dfrac{\hbar}{mA} мы получаем не маленькое изменение начальной скорости – порядка `10^6` м/с.


  • §4. Сила Лоренца

    На движущийся в магнитном поле со скоростью vv заряд qq действует сила Лоренца, абсолютная величина которой

    Fл=|q|vBsinα,(4)F_{\text{л}} = |q| v B\: \textrm{sin}\: \alpha, \:\:\:\:\: (4)

    где α\alpha – угол между векторами скорости v\vec{v} и магнитной индукции B\vec{B}. Сила Лоренца действует на заряд в направлении, перпендикулярном векторам v\vec{v} и B\vec{B}. Здесь тоже применимо правило левой руки, если считать, что движение положительного заряда эквивалентно току, идущему в прямолинейном участке проводника в направлении вектора скорости положительного заряда, а движение отрицательного заряда эквивалентно току, идущему в направлении, противоположном направлению вектора скорости отрицательного заряда.

    Поскольку Bsinα=BB\: \textrm{sin}\: \alpha = B_{\perp} есть модуль перпендикулярной к направлению скорости составляющей вектора индукции B\vec{B}, то Fл=|q|vBF_{\text{л}} = |q| v B_{\perp}.

    Выражение для силы Лоренца (4) можно вывести из формулы (2) и наоборот, поскольку сила Ампера есть сумма всех сил Лоренца, действующих на движущиеся заряды, участвующие в создании тока.

    Если кроме магнитного поля есть ещё и электрическое поле, то на движущийся заряд со стороны электрического поля действует сила

    F=qE,\vec{F} = q \vec{E},

    где E\vec{E} – вектор напряжённости электрического поля в той точке, в которой находится заряд в данный момент. Векторная сумма сил, действующих на заряд со стороны электрического и магнитного полей, есть сила, с которой электромагнитное поле действует на заряд. Эта суммарная сила часто называется силой Лоренца, а её составляющая, определяемая формулой (4), называется магнитной частью (составляющей) силы Лоренца. Мы же в дальнейшем, как и в ныне действующем школьном учебнике, под силой Лоренца будем подразумевать силу, даваемую формулой (4).

    Задача 4

    В однородном магнитном поле с магнитной индукцией BB частице массой mm с зарядом q(q>0)q \: (q > 0) сообщают скорость vv, направленную перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определить траекторию движения частицы.

    Решение

    Действующая на частицу сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы в любой момент движения и поэтому не совершает работу над частицей. Значит, кинетическая энергия частицы не изменяется. Следовательно, не изменяется модуль её скорости. Модуль силы Лоренца F\vec{F} остаётся тоже постоянным, поскольку постоянны модули скорости и магнитной индукции.

    Под действием силы, постоянной по модулю и направленной перпендикулярно скорости, частица имеет постоянное по модулю направленное перпендикулярно скорости ускорение  aa (рис. 10).

    Это значит, что частица движется по дуге окружности радиуса RR, причём a=v2Ra = \dfrac{v^2}{R}. По второму закону Ньютона F=maF = ma, то есть qvB=mv2RqvB = m\dfrac{v^2}{R}. Отсюда радиус дуги окружности, по которой движется частица, R=mvqBR = \dfrac{mv}{qB}.

    задача 5

    Электрон со скоростью v=109v = 10^9 cм/c влетает в область однородного магнитного поля с индукцией B=10-3B = 10^{-3}Тл (рис. 11). Направление скорости перпендикулярно линиям индукции поля. Определите максимальную глубину hh проникновения электрона в область магнитного поля. Угол падения α =30°\alpha = 30^{\circ}. Отношение заряда электрона к его массе

    γ=1,76·1011\gamma = 1,76 \cdot 10^{11}Кл/кг.

    Решение

    Электрон будет двигаться в магнитном поле с постоянной скоростью vv по дуге окружности радиуса RR (рис. 12), который найдётся из условия равенства центростремительной силы и силы Лоренца:

    mv2R=evB.\dfrac{mv^2}{R} = evB.

    Здесь ee – заряд электрона, mm – его масса. Глубина проникновения

    h=R-Rsinα=vγB(1-sinα)28h = R - R \textrm{sin}\: \alpha = \dfrac{v}{\gamma B} (1 - \textrm{sin}\: \alpha) \approx 28мм.

    задача 6

    В однородном магнитном поле с магнитной индукцией BB частице массой mm с зарядом q(q>0)q \: (q > 0) сообщают скорость vv, составляющую острый угол α\alpha с направлением поля. Определить траекторию движения частицы.

    Решение

    Направим ось yy прямоугольной системы координат xyzxyz вдоль поля.

    Пусть скорость vv была сообщена частице в точке A1A_1 (рис. 13). При движении частицы сила Лоренца, перпендикулярная вектору скорости, не совершает работы, поэтому кинетическая энергия частицы и модуль её скорости остаются неизменными.

    Поскольку сила Лоренца должна быть перпендикулярна вектору магнитной индукции, то её проекция на ось yy равна нулю. По этой причине проекция скорости частицы на ось yy остаётся постоянной и равной vcosαv\: \textrm{cos}\: \alpha. Так как эта проекция и модуль скорости не меняются при движении частицы, то угол между скоростью и вектором B\vec{B} остаётся неизменным и равным α\alpha. Теперь ясно, что модуль силы Лоренца остаётся постоянным и равным F=qvB sinαF = qvB \:  \textrm{sin}\: \alpha

    Рассмотрим, как движется проекция частицы на плоскость xzxz, то есть точка AA. Модуль проекции скорости частицы на эту плоскость постоянен и равен vsinαv\: \textrm{sin} \alpha. Поскольку сила Лоренца FF параллельна плоскости xzxz и направлена перпендикулярно скорости движения точки AA по этой плоскости, то в плоскости xzxz движение в точке AA выглядит как движение частицы со скоростью vsinαv\: \textrm{sin} \alpha под действием центростремительной силы FF с ускорением 1R(vsinα)2\dfrac{1}{R} (v\: \textrm{sin} \alpha)^2 по окружности радиуса RR. По второму закону Ньютона qvBsinα=m(vsinα)2.RqvB \: \textrm{sin} \alpha = m\dfrac{(v\: \textrm{sin} \alpha)^2.}{R}.  Отсюда

    R=mvsinαqB.R= \dfrac{mv\: \textrm{sin}\: \alpha}{qB}.

    Из всего сказанного выше видно, что наша частица участвует как бы в двух движениях: равномерном движении по окружности радиуса RR со скоростью vsinαv\: \textrm{sin} \alpha в плоскости xzxz, перпендикулярной силовым линиям поля, и в движении вдоль поля с постоянной скоростью vcosαv\: \textrm{cos} \alpha.  Траектория результирующего движения представляет собой винтовую линию с шагом HH. Точки A1.A2,A3,...A_1. A_2, A_3, ... винтовой линии, лежащие на одной и той же силовой линии поля, отстоят друг от друга на величину шага HH.

    Найдём HH. Один виток A1C1A2A_1C_1A_2 частица проходит за время T=2πRvsinαT = \dfrac{2\pi R}{v\: \textrm{sin} \alpha}, перемещаясь вдоль поля из точки A1A_1 в точку A2A_2 на расстояние H=TvcosαH = Tv \textrm{cos} \alpha. Учтя найденные ранее выражения для TT и RR, получаем H=2πmvcosαqBH = \dfrac{2\pi mv \:\textrm{cos}\: \alpha}{qB}. Итак, частица движется по винтовой линии с радиусом R=mvsinαqBR= \dfrac{mv\: \textrm{sin}\: \alpha}{qB} и шагом H=2πmvcosαqBH = \dfrac{2\pi mv\: \textrm{cos}\: \alpha}{qB} как бы навиваясь на магнитные силовые линии.


  • §3. Закон Ампера

    Закон Ампера: на прямолинейный отрезок проводника с током II и длиной ll, помещённый в однородное магнитное поле с индукцией BB, действует сила Ампера, модуль которой равен

    F=BIlsinα,(2)F = BIl \:\textrm{sin}\: \alpha ,\:\:\:\:\: (2)

    где α\alpha – угол между вектором B\vec{B} и отрезком проводника. Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: расположим левую руку так, чтобы силовые линии входили в ладонь, а четыре вытянутых пальца показывали направление тока; тогда отогнутый на 90°90^{\circ} большой палец укажет направление силы, которое должно быть строго перпендикулярным как проводнику, так и вектору B\vec{B}.

    Заметим, что в формуле (2) Bsinα=BB\: \textrm{sin} \: \alpha = B_{\perp} есть модуль перпендикулярной к проводнику составляющей BB_{\perp} вектора индукции B\vec{B} (вектор B\vec{B} удобно разложить по двум взаимно перпендикулярным направлениям: вдоль проводника и перпендикулярно проводнику). Поэтому (2) можно переписать в виде:

    F=BIl.(3)F = B_{\perp} Il. \:\:\:\:\: (3)

    Видно, что составляющая вектора индукции вдоль проводника не влияет на величину силы.

    Если магнитное поле неоднородное, то формулу (2) можно применять к отрезкам достаточно малой длины.

    задача 3

    В однородном магнитном поле с индукцией B=0,02B = 0,02Тл расположено проволочное полукольцо длиной L=3L = 3см, по которому течёт ток I=0,1I = 0,1A. Магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости полукольца (рис. 8). Найдите силу, действующую на полукольцо со стороны магнитного поля.

    Решение

    Проведём ось yy через концы полукольца, а ось xx - перпендикулярно оси yy через центр кривизны полукольца (рис. 9). Выделим мысленно небольшой участок ABAB полукольца длиной Δli\Delta l_i (рис. 9). На него действует сила Fi= BIΔliF_i =  BI \Delta l_i. Проекция этой силы на ось xx равна Fix=  BIΔlicosαiF_{ix} =  BI \Delta l_i \textrm{cos}\: \alpha_i. Так как Δlicosαi=Δyi \Delta l_i \textrm{cos}\: \alpha_i = \Delta y_i – есть проекция участка ABAB на ось yy, то Fix=BIΔyiF_{ix} = BI \Delta y_i.

    Сила F\vec{F}, действующая на всё полукольцо, равна сумме всех сил, действующих на отдельные его элементы, а проекция этой силы на ось xx равна

    Так как сумма проекций всех участков полукольца на ось yy равна Δyi=2R \sum \Delta y_i = 2R, то Fx=2BIRF_x = 2BIR, где R=LπR=\dfrac{L}{\pi} - радиус полукольца.

    Проекция F\vec{F} на ось yy, равная сумме проекций сил на ось yy для всех элементов полукольца, равна нулю. Поэтому сила F\vec{F}, действующая на полукольцо, равна по модулю FxF_x:

    F= 2BIR=2BILπ3,8·10-5F = 2BIR = \dfrac{2BIL}{\pi} \approx 3,8 \cdot 10^{-5} Н.


  • § 1. Интерференция и дифракция волн


    А. Наложение двух или нескольких волн, при котором образуется устойчивое перераспределение в пространстве энергии результирующих колебаний, называют интерференцией.


    Наблюдать такую устойчивую картину можно только тогда, когда разность фаз складывающихся колебаний в каждой точке пространства не зависит от времени. О таких волнах говорят, что они когерентны. Когерентные волны должны иметь одинаковую частоту (длину волны).

    Если вдоль оси `X` распространяются две волны одинаковой природы (две волны на поверхности воды, две звуковые волны, две световые волны) `y_1(x,t)=A_1cos(omegat-kx)` и `y_2(x,t)=A_2cos(omegat-kx+delta)`, то в результирующей волне имеем `y(x,t)=y_1(x,t)+y_2(x,t)`. Это не есть просто определение результирующей волны. Последняя формула выражает собой экспериментальный факт и называется принципом суперпозиции. Величину  называют циклической частотой; она связана с обычной частотой `nu` (другое часто встречаемое обозначение `f`) и периодом колебаний `T` соотношением

    `omega=2pinu=2pif=2pi//T`.                                                (1.1)

    Величина `k`, называемая волновым числом, связана с длиной волны в среде `lambda` аналогичным соотношением


                           `k=2pi//lambda`.                                                                            (1.2)


    В свою очередь, частота `nu` и длина волны `lambda` связаны друг с другом и со скоростью `v` волн в среде  соотношением


                            `v*T=v//nu=lambda`.                                                                        (1.3)


    При переходе волны из одной среды в другую частота остаётся неизменной – изменяются скорость распространения волны и длина волны. В случае электромагнитных волн (в частности, света) при переходе волны из вакуума в среду с показателем преломления `n` имеем:


      `v=c//n`,                                                                                         (1.4)


    где `c` – скорость света в вакууме (примерно `300 000` км/с),


    `lambda=(c//n)/nu=(c//nu)/n=(lambda_0)/n`,                                                     (1.5)


    где `lambda_0` – длина электромагнитной волны в вакууме. К сожалению, индекс `«0»` часто опускают, и бывает непонятно, о какой длине волны говорят – в вакууме или в среде. В случае воздуха показатель преломления для электромагнитных волн в широком диапазоне частот близок к единице, поэтому величины `lambda_0` и `lambda` также близки друг к другу. Впрочем, для радиоволн в ионосфере это уже не так.


    Для расчёта фазы волны при прохождении в среде с показателем преломления `n`  расстояния `l` вводят понятие оптической длины пути


                                  `l_"опт"=nl`,                                                                             (1.6)


    `y(l,t)=Acos(omegat-kl)=Acos(omegat-(2pi)/lambda l)=`


    `=Acos(omegat-(2pi)/lambda_0 nl)=Acos(omegat-(2pi)/lambda_0 l_"опт")`.


    Если две волны одинаковой частоты двигались в разных средах, то частота `omega` и длина волны `lambda_0` в вакууме  у них будут одинаковыми; разность фаз `Deltavarphi` для волн может «набежать», однако, за счёт разных оптических длин:


    `Deltavarphi=omegat-(2pi)/lambda_0 l_("опт"1)-(omegat-(2pi)/lambda_0 l_("опт"2))=(2pi)/lambda_0(l_("опт"1)-l_("опт"2))`.                                          (1.7)


    Обычные длины при этом могут быть равны друг другу.


    В случае, например, звуковых волн или электромагнитных волн большой длины волны (радиодиапазон) построить разные источники волн, дающие когерентные друг с другом волны, сравнительно несложно. Ситуация не такая простая для электромагнитных волн видимого диапазона (длины волн порядка микрометра). Только с появлением лазеров ситуация упростилась. До этого чаще всего с помощью линз и зеркал делали два (или больше) мнимых источника света, каждый из которых был изображением некоего (одного и того же!) действительного источника света. (Редкое исключение – опыт Юнга с двумя щелями.) Именно то, что мнимые источники были изображениями одного и того же действительного источника, делало их когерентными почти автоматически. (К сожалению, даже в этом случае при большой разности оптических длин для мнимых источников когерентность разрушается.)


    Интерференция света – одно из проявлений того, что свет представляет собой волновой процесс, в котором колеблются векторы напряжённости электрического и магнитного полей. Поскольку эти две величины в волне не независимы, но связаны друг с другом (неким соотношением), можно рассуждать о колебаниях, например, только напряжённости электрического поля: `vecE(x,t)=vecE_0cos(omegat-kx-varphi_0)`. Интерференцию (и дифракцию) света учёные считают прямым доказательством того, что свет – это волна (или суперпозиция волн). Рассмотрение света в виде потока частиц (Ньютон) не смогло объяснить названных явлений.


    Интерференция света наблюдается при наложении двух или нескольких световых пучков при условии когерентности волн. При этом интенсивность света в области перекрытия пучков имеет характер чередующихся светлых и тёмных полос, причём в максимумах интенсивность больше, а в минимумах – меньше суммы интенсивностей пучков. При использовании белого света интерференционные полосы оказываются окрашенными в различные цвета спектра. С интерференционными явлениями мы сталкиваемся довольно часто: цвета масляных пятен на асфальте, окраска замерзающих оконных стёкол, рисунки на крыльях некоторых бабочек и жуков – всё это проявление интерференции света.


    При сложении двух когерентных волн амплитуда в данной точке пространства будет максимальной, если колебания происходят синфазно (в точку одновременно приходят горбы двух волн или одновременно две впадины),  и будет в данной точке минимальной, когда волны приходят в неё в противофазе (от одной из волн приходит горб, а от другой – впадина).


    В световой волне видимого диапазона (от `0,4` до `0,8` мкм) напряжённость электрического поля колеблется с частотами порядка `(4-:8)xx10^(14)` `1//`сек. Ни человеческий глаз, ни самые совершенные приборы не способны уследить за такими быстрыми изменениями поля световой волны. Все они реагируют на некие средние величины поля – средние за достаточно большой промежуток времени `tau` (много больший периода колебаний, `tau> >T`).


    *

    Скажем об этом чуть подробней. В математике под средним значением переменной величины `y(t)` за время `tau` понимают величину

                   `bary=1/tauint_0^tau y(t)dt`.                                                                                    (1.8)

    При этом среднее от константы равно самой этой константе: `1/tauint_0^tau "const"*dt="const"*1/tauint_0^taudt="const"*1/tau*tau="const"`. Для нас наибольший интерес представляют периодические функции. Среднее значение, например, косинуса (или синуса) будет близко к нулю. В самом деле, `bar(cosomegat)=1/tauint_0^taucosomegat*dt=(sinomegatau)/(omegatau)=T/tau*(sinomegatau)/(2pi)`, что при малом отношении `T//tau` есть малая величина. Однако среднее от квадрата косинуса уже не есть малая величина:

    `bar(cos^2omegat)=1/tauint_0^taucos^2omegat*dt=1/(2tau)int_0^tau(1+cos2omegat)*dt=`

    `=1/(2tau)*tau+1/(2tau)*(sin2omegatau)/(2omega)=1/2+T/tau*(sin2omegatau)/(4pi)~~1/2` 

    (вторым слагаемым пренебрегаем). В 1-м случае косинус одинаково часто принимает то положительные, то отрицательные значения, а в среднем – нуль. Квадрат же косинуса всегда не отрицателен, а площадь под кривой `y(t)=cos^2omegat` при `T> >tau` равна примерно половине площади прямоугольника под прямой `y= 1`.

    Счастливым образом наш глаз (и современные приборы) реагируют не на среднее поле в световой волне (оно равно нулю), а на среднее от квадрата поля, которое называют интенсивностью волны:

                                      `I=bar(E^2)`.                                                                           (1.9)

    Среднему же от квадрата поля пропорциональны плотность энергии в волне и поток энергии в ней.

    В случае интерференции двух волн `y_1(t)=A_1cos(omegat+varphi_1)` и `y_2(t)=A_2cos(omegat+varphi_2)` имеем:

    `bar(y_1^2)=(A_1^2)/2-=I_1`,  `bar(y_2^2)=(A_2^2)/2-= I_2`;

                       `y(x,t)=y_1(x,t)+y_2(x,t)`.       

    Для интенсивности в суммарной волне тогда получаем формулу:

    `I=bar(y^2(x,t))=(A_1^2)/2+(A_2^2)/2+2A_1A_2*bar(cos(omegat+varphi_1)*cos(omegat+varphi_2))=`

    `=I_1+I_2+sqrt(2I_1)*sqrt(2I_2)*bar((cos(varphi_1-varphi_2)+cos(2omegat+varphi_1+varphi_2)))=`

    `=I_1+I_2+2sqrt(I_1I_2)*cos(varphi_1-varphi_2)`.

    Если `varphi_1=-kx_1` и `varphi_2=-kx_2` то

    `I=I_1+I_2+2sqrt(I_1I_2)*coskDelta`,                                                                           (1.10)

    где `Delta=|x_1-x_2|` – так называемая  разность хода. В более общем случае, когда две волны приходят в точку, пройдя по средам с разными показателями преломления, волновые числа `k` будут разными, – и требуется рассчитывать разность оптических длин. 



    Пример 1.1

    Две антенны `A` и `B` излучают радиоволны на частоте `f=3` МГц в фазе друг с другом. Расстояние между ними `|AB|=L=200` м. На каком минимальном расстоянии `l=|BC|` интенсивность сигнала минимальна, если `BC_|_AB`.  Ослаблением сигналов при удалении от станций пренебречь.

    Решение

    `lambda=c//f=100` м. Чтобы в точке `C` наблюдался  интерференционный минимум:, нужно, чтобы сигналы от антенн в эту точку приходили в противофазе (от одной антенны приходил «горб», а от другой «впадина»), т. е. разность расстояний от антенн до т. `C` должно равняться полуцелому числу длин волн излучения: `sqrt(L^2+l^2)-l=(m+1/2)lambda(m>=0)`. С учётом равенства `L = 2lambda` получаем `l=(4/(2m+1)-(2m+1)/4)lambda`. В силу положительности длины `l > 0` имеем `4 > 2m+1`, или `m<3//2`, т. е. возможные значения `m:` `0` и `1`. В первом случае `l = 3,74lambda= 375` м, при `m = 1` получаем меньшее значение `l=7/12lambda~~58` м.


    *Пример 1.2 

    Во многих оптических приборах для уменьшения потерь на отражение поверхности линз покрывают тон-кой пленкой фторида магния `("MgF"_2)`, показатель преломления которого `n_2=1,38` (показатель преломления стекла `n_3=1,50`). Пусть на стекло перпендикулярно поверхности падает видимый свет с длиной волны `lambda=0,550` мкм. При какой минимальной толщине `L` покрытия отражение света вследствие интерференции волн резко ослабнет?

    Решение

    Отражённый свет ослабляется вследствие интерференции волн – волны, отражённой от наружной поверхности пленки (1), и волны, отражённой от поверхности стекла  и  затем вышедшей  из  плёнки  (2)  (рис. 1).

    (Наклонное падение изображено для того, чтобы избежать наложения друг на друга разных линий.)

    Разность оптических длин в этом случае равна `2L n_2` (множитель `«2»` появился из-за того, что свету, прежде чем выйти из плёнки, нужно дойти до стекла и обратно). Для ослабления волн необходимо, чтобы на выходе из плёнки разность фаз равнялась `pi` плюс число, кратное `2pi`/ На языке длин волн это означает:

    `2L n_2=lambda//2+mlambda`.

    В данном примере длина волны `lambda=0,550` мкм – это длина волны в вакууме или в воздухе (то, что раньше обозначалось как `lambda_0`: длина волны в стекле при этом буде равна `lambda//(1,5)`, а в плёнке фторида магния – `lambda//(1,38)`). Отсюда получаем `L_min=lambda/(4n_2)~~99,6` нм (для сравнения: характерный размер большинства атомов порядка `0,1` нм).

    Замечание 1

    Нами не было доказано, что амплитуда волны, вышедшей из плёнки (но дошедшей сначала до стекла и отразившейся), равна амплитуде волны, сразу отраженной от плёнки. Для того чтобы две волны погасили друг друга, необходимо, чтобы они были в противофазе (это мы учли), но нужно ещё, чтобы их амплитуды были равны друг другу. Последнее, однако, не было доказано (это выходит за рамки школьной физики).

    Замечание 2

    Оказывается, что при отражении от оптически более плотной среды происходит скачкообразное изменение фазы волны на `pi`. Доказательство этого также выходит за рамки школьной программы. К счастью, в данном примере обе волны отражались от оптически более плотной среды, и каждая из них получила сдвиг по фазе на  одно и то же значение `pi`.


    Замечание 3

    Корректный расчёт требует рассмотрения многократных отражений волны, прошедшей в плёнку. Эта волна, дойдя до стекла, частично отразится, но частично пройдёт в него  (для целей просветления оптики нужно, конечно, чтобы проходило как можно  больше света).  Отразившаяся от  стекла волна лишь частично выйдет наружу: частично она отразится от внутренней поверхности плёнки и направится снова к стеклу и т. д.*

    Б. Явление дифракции волн (не обязательно – только световых) есть проявление интерференции вторичных волн от воображаемых источников, расположенных на волновых фронтах в любые предыдущие моменты времени (принцип Гюйгенса –Френеля). Гюйгенс  впервые  стал   рассуждать о вторичных источниках волн, Френель же впервые применил к ним соображения интерференции волн. Разумеется, интерференция волн от бесконечного числа воображаемых источников – совсем не простая вещь, а теория этого явления есть сложная математическая теория – сложнее, чем теория интерференции волн всего от двух источников! Тем более удивительно, что для практически важного оптического прибора, дифракционной решётки, можно написать простую формулу для положения главных максимумов.

    Пусть на дифракционную решётку в виде плоскости с многочисленными регулярно изготовленными параллельными друг другу щелями перпендикулярно решётке падает свет с длиной волны `lambda`. За решёткой параллельно решётке ставят линзу, в фокальной плоскости которой помещают экран, параллельный плоскости решётки (рис. 2). Каждая щель представляет собой источник вторичных волн. На экране видят сложную картину, состоящую из очень узких полос (тем уже, чем больше штрихов `N` у решётки). Некоторые из полос будут очень яркими (главные максимумы), некоторые слабо заметными, будут и тёмные полосы. Направления на главные максимумы определяются формулой

                                             `dsinvarphi=mlambda`,                                                             (1.11)


    где `m = 0,+-1,+-2, …` – так называемый порядок дифракции, `d` – период решётки (не ширина щелей!). Зная период решётки `d`,  и измеряя угол `varphi` на `m`-й главный максимум, можно определить длину волны. Бывает и наоборот: зная длину волны света, находят период решётки.


    Чем больше щелей содержит решётка, тем более узкими будут главные максимумы. Угловое расстояние между соседними тёмными полосами (эта величина совпадает с шириной главных максимумов) равна

              `deltavarphi=lambda/(Ndcosvarphi)`,                                                                                  (1.12)

    где `varphi` даёт направление на соответствующий максимум в дифракционной картине. Узость дифракционных максимумов от дифракционной решётки поз-воляет использовать её в качестве спектрального прибора. Пусть на решётку последовательно падал свет, например, жёлтого цвета, но с двумя  слегка разными длинами волн. На глаз мы можем порой и не сказать, отличаются эти два жёлтых цвета друг от друга или нет. Но положения их дифракционных максимумов будут существенно разными, а вследствие узости полос – легко отличимыми друг от друга.

    Пример 1.3

    Для излучения некоторой длины волны дифракционный максимум первого порядка наблюдается под углом `varphi_1=8,5^@`. Какой угол дифракции соответствует последнему максимуму для той же длины волны?

    Решение

    Пусть `m` – последний порядок дифракции. Согласно (1.11) имеем систему двух уравнений `dsinvarphi_m=mlambda` (*) и `dsinvarphi_1=lambda` (**). Деля одно уравнение на другое (при этом сокращаются неизвестные величины – период решётки `d` и длина волны `lambda`), получаем `sinvarphi_m=msinvarphi_1` (***). Последний порядок дифракции `m` определятся из условия `|sinvarphi_m|<=1` отсюда находим `|m|<=1/(sinvarphi_1)~~6,8` или с учётом целочисленности `m`: `|m|<=6`.  Тогда в силу (***): `sinvarphi_6=6sin8,5^@~~0,887`, а сам угол `varphi_6~~62,5^@`.

    *Пример 1.4

    Линии в спектре водорода имеют длину волны `lambda_1=656,45` нм,  а дейтерия – `lambda_2=656,72` нм. Какое число штрихов должна иметь дифрак-ционная решётка, чтобы эти линии в спектре 3-го порядка были различимы?

    Решение

    Из условия (1.11) `dsinvarphi=mlambda` при `m=3` находим угловое расстояние между главными максимумами `Deltavarphi` для разных длин волн: `d*cosvarphi*Deltavarphi=3(lambda_2-lambda_1)`, или `Deltavarphi=(3(lambda_2-lambda_1))/(d*cosvarphi)`. Для того чтобы линии были различимы, угловое расстояние между полосами одного и того же порядка, но для разных длин волн, должно быть, очевидно, не меньше ширины самих полос `deltavarphi=lambda/(Ndcosvarphi)` (1.12), то есть `(3(lambda_2-lambda_1))/(d*cosvarphi)>=lambda/(Ndcosvarphi)`. Отсюда получим `N>=lambda/(3(lambda_2-lambda_1))`. В качестве `lambda` здесь возьмём среднее арифметическое для двух близких длин волн. В итоге получаем: `N>=810,60`, то есть `N_min=811`.

    Заметим, что в ответ не вошёл период решётки (не заданный в условии задачи). Неопределённым оказался и угол `varphi`, соответствующий 3-му порядку в дифракционной картине. Эти величины просто сократились в процессе вычислений.*


  • §2. Закон Био – Савара – Лапласа

    В 1820 году французские учёные Ж. Био и Ф. Савар исследовали магнитные поля, создаваемые в воздухе прямолинейным током, круговым током, катушкой с током и т. д. На основании многочисленных опытов они пришли к следующим выводам:

    – магнитная индукция в произвольной точке поля зависит от расположения этой точки по отношению к проводу с током;
    – магнитная индукция зависит от конфигурации (формы и размеров) провода с током;
    – во всех случаях модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого тонким проводом с током, пропорционален силе тока.

    Био и Савар пытались получить общий закон, позволяющий вычислить магнитную индукцию в каждой точке поля, создаваемого электрическим током, текущим в проводнике любой формы. Но сделать им это не удалось, и они обратились к известному французскому математику, физику и астроному П. Лапласу. Лаплас учёл векторный характер магнитного поля и высказал важную гипотезу о том, что индукция B\vec{B} в каждой точке магнитного поля любого проводника с током представляет собой векторную сумму индукций ΔBi\Delta \vec{B}_i магнитных полей, создаваемых каждым достаточно малым участком проводника (элементом тока): 

    Этим Лаплас предположил, что при наложении магнитных полей справедлив принцип суперпозиции, то есть принцип независимого действия магнитных полей, создаваемых несколькими источниками полей.

    Обобщив результаты экспериментов Био и Савара, Лаплас пришёл к выводу, что модуль вектора магнитной индукции ΔB\Delta B поля, создаваемого элементом тока в исследуемой точке CC (рис. 3), пропорционален силе тока II, длине элемента тока Δl\Delta l, синусу угла α\alpha между направлением тока и направлением на исследуемую точку СС и обратно пропорционален квадрату расстояния rr до точки CC.

    Направлен же вектор ΔB\vec{\Delta B} перпендикулярно плоскости, проходящей через элемент тока и исследуемую точку, причём направление тока в элементе тока и направление поля в исследуемой точке СС связаны правилом буравчика: при движении острия буравчика в направлении тока вращение рукоятки буравчика показывает направление поля в точке CC. Остриё буравчика помещается, естественно, вблизи элемента тока. На рис. 3 поле в точке CC направлено за плоскость чертежа и обозначено поэтому крестиком.

    Приведём для справки, но не для запоминания, полученную Лапласом формулу, выражающую закон Био – Савара – Лапласа:

    |ΔB|=kIΔlr2sinα.|\vec{\Delta B }| = k\dfrac{I \Delta l}{r^2} \textrm{sin} \alpha .

    Здесь коэффициент пропорциональности kk зависит от выбора системы единиц. В системе СИ k=10-7k=10^{-7} ед. СИ. 

    Следует заметить, что правило буравчика при установлении связи между направлением тока и поля можно применять и в обратном порядке, то есть вращать буравчик так, чтобы его остриё, помещённое в исследуемую точку, двигалось по направлению вектора индукции магнитного поля, а конец рукоятки двигался в направлении тока. Проверьте это для случая, изображённого на рис. 3. Такой подход особенно удобен для витка с током при нахождении направления магнитного поля внутри витка (рис. 4).

    То, что в законе Био – Савара – Лапласа модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого элементом тока в некоторой точке, пропорционален силе тока и длине элемента тока, легко запомнить, так как это следует непосредственно из принципа суперпозиции магнитных полей. Действительно, увеличим ток в элементе тока в два раза. Тогда модуль вектора магнитной индукции поля, создаваемого в некоторой точке этим элементом, увеличится тоже в два раза, не изменив направления, поскольку элемент тока с током 2I2I можно представить как два плотно прижатых друг к другу элемента тока с токами II в каждом и применить принцип суперпозиции для полей, создаваемых этими двумя элементами. Аналогичные рассуждения будут и при увеличении тока в любое число раз. Это доказывает, что модуль вектора магнитной индукции пропорционален току. Похожие рассуждения можно провести и в отношении длины элемента тока.

    Следует отметить одно полезное следствие из закона Био – Савара – Лапласа. Поле, создаваемое элементом тока в произвольной точке AA (рис. 3) на оси элемента, равно нулю, т. к. для этой точки sinα=0\textrm{sin}\: \alpha = 0. Это легко запомнить, если учесть, что при попытке найти направление поля в точке АА с помощью правила буравчика мы столкнёмся с неопределённостью направления поля, что указывает на то, что поле в этой точке не имеет направления, то есть отсутствует. Попробуйте применить правило буравчика в этом случае.

    Пример

    Рассмотрим поле сколь угодно длинного прямолинейного провода с током. Пользуясь законом Био – Савара – Лапласа, нетрудно догадаться, что силовые линии магнитного поля будут представлять собой окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси провода. Центры окружностей будут на оси провода. Величина индукции поля должна убывать с увеличением расстояния до провода. Направление силовых линий определяется по правилу буравчика, остриё которого в данном случае удобно направить по току. На рис. 5 ток в проводе направлен перпендикулярно плоскости чертежа, за плоскость чертежа и обозначен крестиком.

    В качестве самостоятельного упражнения полезно объяснить с помощью закона Био – Савара – Лапласа и правила буравчика ход магнитных силовых линий на всех рисунках школьного учебника.

    задача 1

    По бесконечно длинному прямолинейному тонкому проводу AKDAKD течёт ток (рис. 6). В некоторой точке СС индукция магнитного поля, создаваемого этим током, равна BB. Как изменится магнитная индукция в точке CC, если провод с этим током займёт положение AKD1AKD_1?

    Решение

    Каждый из полубесконечных участков AKAK и KDKD создаёт в точке CC поле с индукцией 12B\dfrac{1}{2}B, направленное туда же, что и поле от всего проводника ADAD (перпендикулярно плоскости чертежа, за плоскость чертежа). Поле от полубесконечного участка KD1KD_1 в точке CC равно нулю, т. к. точка CC находится на продолжении участка KD1KD_1. Следовательно, поле в точке CC от участка AKD1AKD_1 такое же, как и поле от участка AKAK, то есть после изгиба провода вектор магнитной индукции поля в точке CC своего направления не изменит, но его модуль уменьшится в два раза и станет равен 12B\dfrac{1}{2}B.

    задача 2

    На железный стержень намотана катушка и подключена к источнику тока (рис. 7). Определите расположение полюсов у такого магнита.

    Решение

    Ток по виткам катушки идёт по часовой стрелке, если смотреть вдоль стержня справа. По правилу буравчика поле внутри катушки направлено влево. Северный полюс электромагнита расположен слева, а южный – справа.


  • §1. Магнитное поле

    Опыты с проводниками, по которым течёт ток, навели исследователей на мысль, что кроме электрического поля существует ещё и так называемое магнитное поле. Магнитное поле можно обнаружить по его действию на проводники с током и движущиеся заряды. Напомним, что электрическое поле обнаруживается по его действию на покоящиеся и движущиеся заряды. Характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции B\vec{B} (вектор индукции магнитного поля). Вектор B\vec{B} можно ввести по силовому действию на проводники с током или движущиеся заряды одним из трёх способов:

    1) по действию магнитного поля на движущийся заряд;
    2) по действию магнитного поля на прямолинейный участок проводника с током;
    3) по действию магнитного поля на рамку с током.

    По этой причине вектор B\vec{B} есть силовая характеристика поля. Введём понятие вектора B\vec{B} через действие поля на рамку с током.

    Пусть есть достаточно маленькая плоская рамка произвольной формы, по которой пропускается ток (рис. 1). Опыт показывает, что на такую рамку, помещённую вблизи некоторой точки магнитного поля, действует момент сил, зависящий от ориентации рамки в магнитном поле.

    За направление вектора B\vec{B} в том месте (точке), где расположена рамка, принимается направление нормали (перпендикуляра) к плоскости рамки при таком положении рамки, когда момент сил, действующих на рамку, равен нулю. Из двух нормалей, которые можно провести к плоскости рамки, выбирается та, которая связана с направлением тока в рамке правилом буравчика (правого винта). Для рамки на рис. 1 направление тока связано правилом буравчика с нормалью, направленной от читателя за плоскость рисунка. Опыт подтверждает, что определённое таким образом направление вектора B\vec{B} не зависит от формы рамки.

    Введём теперь модуль вектора магнитной индукции. Если плоскость рамки параллельна вектору B , то на рамку действует максимальный момент сил MmaxM_{max}, пропорциональный току II в рамке и её площади SS независимо от формы рамки:

    Mmax=BIS.(1)M_{max} = BIS. \:\:\:\:\: (1)

    Коэффициент пропорциональности BB называется модулем вектора магнитной индукции в той точке поля, вблизи которой расположена рамка.

    Независимость введённого вектора B\vec{B} от формы рамки показывает, что B\vec{B} есть характеристика магнитного поля и приведённое выше определение для вектора магнитной индукции корректно.

    Из формулы (1) видно, что BB в системе СИ измеряется в Н·мА·м2=НА·м\dfrac{\text{Н} \cdot \text{м}}{\text{А} \cdot \text{м}^2} = \dfrac{\text{Н}}{\text{А} \cdot \text{м}}. Единица магнитной индукции в системе СИ получила специальное название – тесла (обозначается Тл). Итак, 1Тл=1 НА·м1\text{Тл} = 1 \dfrac{\text{Н}}{\text{А} \cdot \text{м}}. Выразим единицу магнитной индукции через основные единицы системы СИ. Поскольку Н=кг·мс2\text{Н} = \dfrac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}^2}, то Тл= кг A·с2\text{Тл} = \dfrac{\text{кг} }{ \text{A} \cdot \text{с}^2}.

    Иногда говорят о направлении магнитного поля, подразумевая под этим направление вектора магнитной индукции.

    Графически магнитные поля изображают с помощью линий магнитной индукции (магнитных силовых линий). Это воображаемые линии в пространстве, касательные к которым во всех точках совпадают с направлением вектора B\vec{B} в этих точках. За направление силовых линий берут направление вектора B\vec{B} . Ясно, что силовые линии магнитного поля (как и электрического) не могут пересекаться, так как в противном случае в точке пересечения направление вектора магнитной индукции будет носить неоднозначный характер, что не соответствует действительности. Опыт показывает, что силовые линии магнитного поля замкнутые, то есть нет магнитных зарядов, на которых силовые линии начинаются или заканчиваются. На рис. 2 для кругового витка с током показана картина силовых линий магнитного поля в плоскости PP, перпендикулярной плоскости витка и проходящей через его диаметр. Стрелки на силовых линиях указывают их направление.

    Для обозначения на рисунке магнитного поля, направленного за плоскость рисунка, используется крестик в кружке: \Large{\otimes}.

    Поле, направленное из-за плоскости рисунка (на читателя), обозначают точкой в кружке: \Large{\odot}.

    Как же получить, создать магнитное поле? Оказывается, что не только постоянные магниты, но и токи в проводниках или даже движущиеся заряды создают магнитное поле. Это и есть источники магнитного поля. А как быть, если присутствует одновременно несколько источников поля?

    Из опыта следует, что для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции: для каждой точки пространства вектор магнитной индукции B\vec{B} результирующего магнитного поля, создаваемого несколькими источниками поля, равен сумме векторов магнитной индукции полей, создаваемых каждым источником в отдельности:

    Магнитное поле называется однородным, если векторы B\vec{B} во всех его точках одинаковы. В других случаях поле называется неоднородным.

    Несколько слов о магнитных полюсах. Пусть у постоянного магнита (намагниченного тела) силовые линии магнитного поля выходят из некоторой части поверхности магнита, располагаясь достаточно густо в месте выхода. Это место называется северным полюсом магнита. То место у магнита, где сгустившиеся силовые линии магнитного поля входят в магнит, называется южным полюсом магнита. Силовые линии магнитного поля выходят из северного полюса магнита, идут вне магнита, входят в южный полюс магнита и идут внутри магнита к его северному полюсу. Северный полюс обозначается буквой NN, южный – буквой SS.

    Названия полюсов имеют исторические корни: северным полюсом назван тот конец магнитной стрелки (у компаса), который показывал на географический север.

    Во внешнем магнитном поле постоянный магнит в виде стержня с полюсами на концах (магнитная стрелка) старается расположиться вдоль поля так, чтобы собственное поле внутри магнита совпадало по направлению с внешним полем.

    Из всего сказанного можно сделать вывод, что северный магнитный полюс Земли находится вблизи южного географического полюса Земли, а южный магнитный полюс Земли находится в районе северного географического. И это действительно так!


  • §7. Поперечное увеличение

    Линзы, зеркала или более сложные оптические инструменты обладают некоторыми общими свойствами. При рассмотрении этих свойств удобно называть рассматриваемые инструменты оптическими системами (ОС). Пусть стрелка `AB` расположена перед (ОС) перпендикулярно её главной оптической оси. Пусть, далее, A1B1A_1B_1 – изображение этой стрелки (рис. 7.1).

    Определение. Поперечным увеличением оптической системы называется отношение длины изображения предмета A1B1A_1B_1 к длине ABAB самого предмета. Здесь важно запомнить, что предмет лежит в плоскости, перпендикулярной к главной оптической оси системы. Будем обозначать такое увеличение буквой Γ\Gamma.

    Выведем формулы для поперечного увеличения тонкой линзы. Пусть расстояние от стрелки ABAB до линзы равно aa, а расстояние от линзы до её изображения A1B1A_1B_1 равно bb (рис. 7.2). Из подобия треугольников ABOABO и A'B'O'A^'B^'O^'  следует, что:

    Γ=A'B'AB=ba7.1 \Gamma = \dfrac{A^'B^'}{AB} = \dfrac{b}{a} \:\:\:\:\: \left(7.1\right)

    Для Γ\Gamma можно получить и другие выражения. Из подобия треугольников ABCABC и ODCODC получим:

    Γ=ODAB=OCAC=Fa-F,7.2\Gamma = \dfrac{OD}{AB} = \dfrac{OC}{AC} = \dfrac{F}{a-F}, \:\:\:\:\: \left(7.2\right)

    или

    Γ=A'B'OK=b-FF.7.3\Gamma = \dfrac{A^'B^'}{OK} = \dfrac{b-F}{F}. \:\:\:\:\: \left(7.3\right)

    Для собирающей линзы в таблице 1 приведены качественные характеристики изображения плоского предмета, зависящие от отношения расстояний aa и FF.

    С помощью построений убедитесь в правильности данной таблицы.

    Задача 8.1

    Луч света, выходящий из воды (n1=4/3n_1 = 4/3), падает на её поверхность под предельным углом полного отражения. Выйдет ли луч в воздух, если на поверхности воды налить слой кедрового масла (n2=1,52n_2 = 1,52)?

    Решение

    Запишем условие прохождения луча света через воду, кедровое масло и (возможно) воздух. Согласно формуле (5.1) предыдущего задания, n1sinφКр.1=n2sinφ2=sin90°=1n_1\textrm{sin} \varphi_{\text{Кр.1}} = n_2 \textrm{sin} \varphi_2 = \textrm{sin} 90^{\circ} = 1. Следовательно, луч света, проникший в плёнку из кедрового масла, будет падать на границу раздела масло-воздух под углом φ2\varphi_2 (предельным углом для кедрового масла), а это значит, что он и в этом случае не выйдет в воздух.

    задача 8.2

    Перед рассеивающей линзой L1L_1 с известным диаметром DD находится точечный источник SS, не лежащий на главной оптической оси этой линзы (рис. 8.1). Постройте изображение S1S_1 источника. Покажите штриховкой область, из которой наблюдатель может видеть изображение S1S_1.

    Решение

    Порядок построения изображения в рассеивающей линзе описан в §6. Наблюдателю, который видит сквозь линзу изображение S1S_1, будет казаться, что лучи, не преломляясь, идут от изображения S1S_1. Штриховкой (рис. 8.2) отмечена искомая область. Из других мест изображение S1S_1 увидеть нельзя.

    задача 8.3

    Тонкая линза создаёт изображение S1S_1 точечного источника SS (рис. 8.3). AA1AA_1 – главная оптическая ось линзы. Восстановите положение линзы. Собирающая она или рассеивающая эта линза?

    Решение

    Проведём через точки S1S_1 и SS прямую до пересечения с главной оптической осью. Эта прямая – побочная оптическая ось (см. §6). Следовательно, точка ОО пересечения оптических осей – оптический центр линзы. Плоскость линзы перпендикулярна главной оптической оси. Проведём из точки SS луч (1) параллельно главной оптической оси. Преломившись в линзе, он должен пройти через её фокус. Кроме того, этот луч (или его продолжение) должен пройти через точку S1S_1 (изображение точки SS). Т. к. через S1S_1 проходит воображаемое продолжение луча, то изображение мнимое, прямое, увеличенное, а линза собирающая (см. таблицу 1).


  • §2. Динамика движения по окружности

    В инерциальной системе отсчёта основным уравнением динамики материальной точки является второй закон Ньютона:

    `mveca=vecF_1+vecF_2+...  .`                                                                      (14)

    Рассмотрим подробнее равномерное движение тела по окружности, лежащей в плоскости `XOY` координатной системы.  Из (7) и (14) следует, что при таком движении сумма сил, так же как и ускорение, в любой момент времени направлена  к центру окружности. Тогда, переходя  в (14) к скалярной форме записи, удобно перейти не к проекциям сил и ускорения на оси `OX`, `OY`  инерциальной системы отсчёта, а на подвижное направление – направление внутренней нормали, считая положительным направление к центру  окружности. Это приводит к соотношению:

    `ma_n=m(v^2)/R=F_(1n)+F_(2n)+...  .`                                                        (15)

    В рассматриваемом случае движение происходит в плоскости `XOY`. Тогда  `a_z=0`, и из (14) находим, что сумма проекций сил на направление `OZ`, перпендикулярное плоскости окружности, равна нулю:

    `0=F_(1z)+F_(2z)+...  .`                                                                     (16)

    Таким образом, для решения задач динамики равномерного движения материальной точки по окружности необходимо:

    1) в инерциальной системе отсчёта привести «моментальную фотографию» движущегося тела и указать приложенные к нему силы и сообщаемое этими силами ускорение,

    2) составить уравнения (14) – (16)  и решить полученную систему.

    Отметим, что из (15) следует – произведение массы тела на нормальное (радиальное, центростремительное) ускорение равно сумме нормальных проекций всех действующих на тело сил. Эту сумму, стоящую в правой части (15), часто неудачно называют центростремительной силой. Из (14) видно, что никакой центростремительной силы в природе не существует. В инерциальной системе отсчёта движение по окружности всегда происходит под действием сил, обусловленных известными взаимодействиями. Такими силами являются силы тяжести, трения, реакции опоры и т. д.

    Пример 6

    Спутник обращается по круговой орбите с периодом `T` вокруг планеты. Найдите радиус `r` орбиты. Планета – однородный шар массы  `M`.

    Решение

    По условию спутник движется  вокруг планеты  по круговой орбите  радиуса `r` под  действием гравитационной силы. Из второго  закона Ньютона (рис. 8)

    `mveca=mvecg  (r)`,

    переходя к  проекциям  силы притяжения и ускорения на нормальное направление, получаем:

    `m(v^2)/r=G(mM)/r^2`.

    Отсюда   `v=sqrt(GM/r)`.

    Линейная скорость связана с периодом обращения и радиусом орбиты соотношением

    `v=(2pir)/T`.

    Из двух последних равенств следует

    `r=(GM(T/(2pi))^2)^(1//3)`.


    Пример 7

    Автомобиль движется в горизонтальной плоскости с постоянной по модулю скоростью по закруглению дороги – дуге окружности радиуса `R=200` м. Коэффициент трения скольжения шин по дороге `mu=0,1`. При  какой  скорости `v` автомобиля  его  не  будет «заносить»?  Ускорение  свободного  падения `g=10  "м"//"c"^2`.

    Решение

    Инерциальная система отсчёта и силы, действующие на автомобиль, показаны на рис. 9. Такими силами являются: сила трения `vecF_"тр"`, сила сопротивления `vecF_"c"`, сила тяжести `mvecg` и сила нормальной реакции `vecN`. По второму  закону Ньютона

     `mveca=mvecg+vecN+vecF_"c"+vecF_"тр"`.              

    Так как автомобиль движется по окружности равномерно, `vecF_("тр",tau)=-vecF_"c"`. Перейдём к проекциям сил и ускорения на нормальное направление              

              `m(v^2)/R=F_("тр", n)`                                                                           (17)

    и на вертикаль          

    `0=N-mg`.                                                                         (18)

    Величина силы трения ограничена  `F_"тр"<=muN`. Тогда  из (17), (18) следует, что при движении по окружности в горизонтальной плоскости `m(v^2)/R<=mumg`. Отсюда  находим  верхнюю  оценку  (при `F_"c"=0`) скорости такого движения:

    `v<=sqrt(mugR)=sqrt(0,1*10*200)~~14` м/с.

    Пример 8

    Автомобиль, трогаясь с места,  равномерно  набирает скорость, двигаясь по горизонтальному участку дороги, представляющему собой дугу в `1//12` окружности радиуса `R=100` м. С какой наибольшей по величине `v` скоростью автомобиль может выехать на прямолинейный участок дороги, если коэффициент трения скольжения шин по дорожному покрытию `mu=0,3`? Ускорение свободного падения `g=10  "м"//"C"^2`. Силу сопротивления считайте пренебрежимо малой.

    Решение

    На автомобиль в процессе разгона действуют силы: тяжести `mvecg`, нормальной реакции `vecN` и трения `vecF_"тр"`, которая сонаправлена с ускорением `veca`. Проанализируем изменение вектора ускорения со временем. Для этого удобно обратиться к  тангенциальной `a_tau` и нормальной `a_n` составляющим ускорения. По условию `a_tau` постоянна, следовательно, величина скорости автомобиля в конце разгона и тангенциальная составляющая `a_tau` связаны соотношением

    `v=sqrt(2a_tau s)=sqrt(2a_tau*(2piR)/12)`,   отсюда    `a_tau=(3v^2)/(piR)`.  

    Центростремительная составляющая ускорения определяется формулой `a_n=(v^2)/R` и достигает наибольшего значения в конце участка разгона, где скорость наибольшая. По теореме Пифагора

     `a_max=sqrt(a_tau^2+a_n^2)=sqrt(((v^2)/R)^2+((3v^2)/(piR))^2)=(v^2)/Rsqrt(1+(3/pi)^2)`.    

    Из второго закона Ньютона следует `N=mg`, а сила трения может сообщить наибольшее по величине ускорение

    `a_max=(F_("тр", max))/m=(muN)/m=mug`.

    Тогда наибольшая скорость в конце участка разгона равна

    v=μgR1+3π2 15v=\sqrt{\dfrac{\mu gR}{\sqrt{1+\left({\displaystyle\frac3\pi}\right)^2}}}\;\approx15 м/с.

    Пример 9

    Массивный  шарик,  подвешенный на лёгкой нити, движется равномерно по окружности в горизонтальной  плоскости (рис. 10). Расстояние  от точки подвеса нити до плоскости, в которой происходит движение, равно `H`. Найдите период `T` обращения шарика. Ускорение свободного падения `g`. 

    Решение

    Введём обозначения: `L` - длина нити, `alpha` - угол, образуемый нитью с вертикалью, `r=Lsinalpha` - радиус  окружности, по  которой движется шарик со скоростью `v`. Заметим, что `H=Lcosalpha`. Обратимся к динамике. На шарик действуют сила тяжести `mvecg` и сила натяжения `vecF` нити. Эти силы сообщают шарику направленное к центру окружности нормальное ускорение,  по  величине  равное  `a=(4pi^2)/(T^2)r`.  По второму закону Ньютона `mveca=vecF+mvecg`, переходя к проекциям сил и ускорения на нормальное направление и  на вертикаль,  получаем:

    `m*(4pi^2)/(T^2) r=Fsinalpha`,                                                                 (19)

                          `0=Fcosalpha-mg`.                                                                (20)

    С учётом (20) преобразуем (19) к виду:  

     `m(4pi^2)/(T^2)Lsinalpha=mg*tgalpha`,  отсюда  `T=2pisqrt(H/g)`. 

    Пример 10

    Кольцо, изготовленное из однородного резинового жгута длиной `L`, массой `M` и жёсткостью `k`, вращается  в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через центр кольца, с угловой скоростью `omega`. Найдите радиус `R` вращающегося кольца.   

    Решение

    Рассмотрим элементарный участок вращающегося кольца длиной `Deltal`. Его масса `Deltam=M/(2piR)Deltal`. На выделенный участок действуют силы `vecT_1` и `vecT_2` (рис. 11),   направленные по  касательным к  кольцу и одинаковые по  модулю `T_1=T_2=T`. По второму закону  Ньютона

    `Deltam*veca=vecT_1+vecT_2`.

    Рассматриваемый элементарный участок под действием приложенных сил равномерно  движется  по окружности, следовательно, его ускорение  в  любой  момент  времени  направлено  к  центру окружности и по величине равно `omega^2R`. Переходя в математической записи  второго  закона  Ньютона к проекциям сил и ускорения на  нормальное направление, получаем `(MDeltal)/(2piR)omega^2R=2Tsin(alpha//2)`.  Величина `T` упругой силы (силы натяжения) связана с удлинением `(2piR-L)` кольца законом Гука `T=k(2piR-L)`. При малых углах `sin(alpha//2)~~alpha//2=Deltal//(2R)`. С учётом этих соотношений уравнение  движения принимает вид

    `(MDeltal)/(2piR)omega^2R=2k(2piR-L)(DeltaL)/(2R)`.

    Отсюда `R=(2pikL)/(4pi^2k-omega^2M)`. Из последней формулы следует, что при `omega=2pisqrt(k/M)` кольцо должно неограниченно растягиваться, однако этого не случится, так как закон Гука нарушится уже при небольших удлинениях, а с ростом `omega` кольцо разорвётся.

    Пример 11

    Определите вес `P` тела массой `m` на географической широте `varphi`. Ускорение свободного падения `g`. Землю считайте однородным шаром радиуса `R`.

    Решение

    Напомним, что вес `vecP`  тела – это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Допустим, что тело лежит на поверхности вращающейся Земли, на него действуют сила тяжести `mvecg`, направленная к  центру  Земли, и сила  реакции  `vecN` (рис. 12).  По третьему закону Ньютона `vecP=-vecN`. Поэтому для  определения веса тела найдём силу реакции `vecN`. В инерциальной системе  отсчёта тело равномерно движется по окружности радиуса `r=R*cosvarphi` с периодом одни сутки, т. е. `T=86400` с, и циклической частотой  `omega=(2pi)/T=7,3*10^(-5)"c"^(-1)`.

    Ускорение тела по величине равно `a_n=omega^2*r=omega^2*R*cosvarphi` и направлено к оси вращения Земли. Из этого следует, что равнодействующая сил тяжести и реакции Земли тоже должна быть направлена к оси вращения Земли. Тогда сила реакции образует с перпендикуляром к оси вращения некоторый угол `alpha!=varphi`, иначе сумма сил, приложенных к телу, а следовательно, и ускорение были бы равны нулю. По второму закону Ньютона `mveca=mvecg+vecN`.

    Перейдём к проекциям сил и ускорения на нормальное направление

    `momega^2Rcosvarphi=mgcosvarphi-Ncosalpha`

    и на направление, перпендикулярное плоскости, в которой лежит окружность, `0=-mgsinvarphi+Nsinalpha`. Исключая `alpha` из двух последних соотношений, находим вес тела:

    `P=N=sqrt((mg)^2-m^2omega^2R(2g-omega^2R)cos^2varphi)`.

    Пример 12

    Маленький деревянный шарик прикреплён с помощью нерастяжимой нити длиной `l=30` см ко дну цилиндрического сосуда с водой. Расстояние от центра дна до точки закрепления нити `r=20` см. Сосуд раскручивают вокруг вертикальной оси, проходящей через  центр дна. При какой угловой скорости вращения нить отклонится от вертикали на угол `alpha=30^@`? Ускорение свободного падения  `g=10  "м"//"c"^2`.

    Решение

    Нить с шариком отклонится к оси вращения. Действительно, на шарик будут действовать три  силы: сила `mvecg` тяжести,  сила  `vecT` натяжения нити и сила `vecF_"A"` Архимеда (рис. 13). Найдём эту силу. Обозначим объём шарика `V`, плотность дерева, из которого изготовлен шарик, `rho_"ш"`, плотность воды `rho_"в"` и рассмотрим движение жидкости до погружения в неё шарика. Любой элементарный объём  воды равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. Следовательно, вертикальная составляющая суммы сил давления (силы Архимеда) `F_("A", z)` уравновешивает силу тяжести, действующую на жидкость в рассматриваемом объёме, горизонтальная составляющая `F_("A",r)` сообщает этой жидкости центростремительное ускорение. При замещении жидкости шариком эти составляющие не изменяются. Тогда вертикальная составляющая силы Архимеда, действующей на шарик, по величине равна `F_("A",z)=rho_"в"Vg`, а направленная к оси вращения составляющая силы Архимеда по величине  равна `F_("A",r)=rho_"в"Vomega^2(r-lsinalpha)`. Под действием приложенных сил шарик движется равномерно по окружности радиуса  `(r-lsinalpha)` в горизонтальной плоскости. Из второго закона Ньютона `mveca=mvecg=vecT+vecF`.

    Переходя к проекциям сил  и  ускорения на вертикальную ось, находим:

    `rho_"в"Vg-rho_"ш"Vg-Tcosalpha=0`,

    проектируя силы и ускорения в горизонтальной плоскости на нормальное направление, получаем

    `rho_"ш"Vomega^2(r-lsinalpha)=rho_"в"Vomega^2(r-lsinalpha)-Tsinalpha`.

    Исключая `T` из двух последних соотношений, определяем искомую угловую скорость

    `omega=sqrt((g"tg"alpha)/(r-lsinalpha))~~10,7  "c"^(-1)`.

    Пример 13

    Определите радиус `R` горбатого мостика, имеющего вид дуги окружности, если известно, что при скорости  `v=90` км/ч вес автомобиля в верхней точке мостика вдвое меньше веса на горизонтальной дороге. Ускорение свободного падения  `g=10  "м"//"c"^2`.

    Решение

    При движении по горизонтальной дороге вес тела равен силе тяжести.

    Обратимся к движению автомобиля по мостику. Инерциальная система отсчёта и силы, действующие на автомобиль и на мостик, показаны на рис. 14.

    Для автомобиля в верхней точке мостика по второму закону Ньютона `mveca=mvecg+vecN`. Перейдём в этом уравнении к проекциям сил и  ускорения на нормальное направление: `mv^2//R=mg-N`. По условию `P=mg//2`,  а по третьему  закону Ньютона `vecN=-vecP`, тогда `N=mg//2`.  Из полученных соотношений находим:  `mv^2//R=mg//2`,  отсюда  

    `R=(2*v^2)/g=(2*25^2)/10=125` м.

    Рассмотрим два примера, в которых тела движутся по окружности неравномерно, при этом тангенциальное ускорение тоже изменяется. В этом случае наряду с законом Ньютона полезно привлекать закон изменения (или сохранения) механической энергии.

    Пример 14

    По длинной проволочной винтовой линии радиуса `R` с шагом `H`, ось которой вертикальна, скользит бусинка. Коэффициент трения скольжения бусинки по проволоке равен `mu(mu<H//(2piR)`). Найдите установившуюся  скорость  скольжения  бусинки. Ускорение свободного падения `g`.

    Решение

    На бусинку действуют силы: тяжести `mvecg`, нормальной реакции `vecN` и трения `F_"тр"=muN`, при этом `vecN=vecN_1+vecN_2`, здесь `N_1` - горизонтальная составляющая, а `N_2` лежит в одной плоскости с `mvecg` и `vecF_"тр"` (рис. 15).                

    Из второго закона Ньютона следует, что с ростом величины скорости составляющая `N_1`, сообщающая бусинке центростремительное ускорение, а с ней и сила трения будут расти по величине, так что естественно ожидать выхода движения на установившийся режим скольжения с некоторой скоростью `v`. Для определения этой скорости перейдём в инерциальную систему отсчёта (ИСО), движущуюся по вертикали вниз со скоростью `vsinalpha`, `alpha` - угол наклона вектора скорости к горизонту, `"tg"alpha=H//(2piR)`. В выбранной ИСО бусинка равномерно движется по окружности радиуса `R` со скоростью  при этом ускорение бусинки направлено по нормали к оси винтовой линии и по величине равно `(vcosalpha)^2//R`. Из второго закона Ньютона

    `mveca=mvecg+vecN_1+vecN_2+vecF_"тр"`.

    Переходя к проекциям  сил  и  ускорения  на  нормальное  направление, находим `m((vcosalpha)^2)/R=N_1`. В вертикальной плоскости `vec0=mvecg+vecN_2+vecF_"тр"`, переходя к проекциям сил на взаимно ортогональные направления, находим  `F_"тр"mgsinalpha`, `N_2=mgcosalpha`.   

    Из этих соотношений с учётом `F_"тр"=musqrt(N_1^2+N_2^2)` получаем:

    `v=(gR//mu)^(1//2)[("tg"^2alpha-mu^2)("tg"^2alpha+1)]^(1//4)`.

    Пример 15

    Гладкий жёлоб состоит из горизонтальной части `AB` и дуги окружности `BD` радиуса `R=5` м (рис. 16). Шайба скользит по горизонтальной части со скоростью `v_0=10  "м"//"с"`. Определите модуль `a` ускорения шайбы в точке `C` и угол `beta`, который вектор `veca` ускорения шайбы в этот момент составляет с нормалью к траектории в точке `C`. Радиус `OC` образует с вертикалью  угол  `alpha=60^@`. Ускорение свободного падения `g=10  "м"//"c"^2`.

    Решение

    Для нахождения ускорения `a` шайбы в точке `C` найдём тангенциальную `a_tau` и  нормальную `a_n` составляющие ускорения в этой точке. На  тело,  движущееся  в  вертикальной  плоскости по дуге `BD` (рис. 17), в любой  точке действуют силы тяжести `mvecg` и реакции опоры `vecN`.  По второму закону Ньютона `mveca=mvecg+vecN`. Перейдём в этом уравнении к проекциям сил и ускорения на тангенциальное направление (на направление вектора скорости)

    `ma_tau=-mgsinalpha`.

    Отсюда     `a_tau=-gsinalpha=-10*(sqrt3)/2~~-8,7  "м"//"c"^2`.

    Для определения `a_n=(v^2)/R` найдём величину `v` скорости шайбы в точке `C`. Обратимся к энергетическим соображениям. При движении по горизонтальной части жёлоба скорость тела не изменяется вследствие отсутствия трения, а на вертикальной части жёлоба (как и на горизонтальной) сила нормальной реакции не совершает работу, т. к. эта сила  перпендикулярна скорости. Следовательно, механическая энергия (сумма кинетической и потенциальной) сохраняется. Потенциальную энергию шайбы на горизонтальной части жёлоба будем считать равной нулю. Тогда по закону  сохранения  механической  энергии                            

    `m(v_0^2)/2=m (v^2)/2+mgR(1-cosalpha)`,

    отсюда           

    `a_n=v^2/R=(v_0^2)/R-2g(1-cosalpha)=(10^2)/5-2*10*(1-1/2)=10  "м"//"c"^2.`

    Величину `a` ускорения шайбы в точке `C` найдём по теореме Пифагора:  

    `a=sqrt(a_tau^2+a_n^2)~~13,2  "м"//"c"^2`.

    В точке `C` вектор ускорения `veca` образует с нормалью угол `beta` такой, что `"tg"beta=(|a_tau|)/(a_n)~~0,87`, отсюда `beta~~41^@`.

    Пример 16

    На горизонтальной поверхности лежит полушар массой `M=100` г. Из его верхней точки без трения  с  нулевой начальной  скоростью скользит шайба массой `m=25` г. Из-за трения между полушаром и горизонтальной поверхностью движение полушара начинается при `alpha=10^@`. Найдите коэффициент `mu` трения скольжения  полушара по поверхности. Ускорение  свободного падения  `g=10  "м"//"c"^2`.  

    Решение

    Рассмотрим силы, действующие на каждое из тел. На шайбу действуют сила тяжести `mvecg` и сила нормальной реакции `vecN_1` (рис. 18). Из второго закона Ньютона

    `mveca=mvecg+vecN_1`.

    Переходя к проекциям сил и ускорения на нормальное направление, в момент начала движения полушара получаем `mv^2/R=mgcosalpha-N_1`.

    По закону сохранения энергии `(mv^2)/2=mgR(1-cosalpha)`.

    Из этих соотношений находим величину действующей на шайбу в этот момент силы нормальной реакции:  `N_1=mg(3cosalpha-2)`.

    На  полушар  действуют  силы:  тяжести `Mvecg`, нормальной реакции `vecN_2`, трения `vecF_"тр"` и вес `vecP` шайбы (рис. 19).

    По третьему закону Ньютона `vecP=-vecN_1`. В момент начала движения полушара из второго закона Ньютона   

    `Mveca_1=Mvecg+vecP+vecN_2+vecF_"тр"`.  

    Переходя к проекциям сил и ускорения `veca_1=vec0`  полушара  на  вертикальное направление, с учётом равенства `P=N_1` получаем:

    `N_2=Mg+Pcosalpha=Mg+mg(3cosalpha-2)cosalpha)`.

    Переход к проекциям сил и ускорения полушара на горизонтальное направление позволяет определить величину силы трения:

    `F_"тр"=P sinalpha=mg(3cosalpha-2)sinalpha`.

    С ростом `alpha` сила `F_"тр"` увеличивается, сила `N_2` уменьшается. В момент начала движения полушара величина силы трения связана с величиной силы нормальной реакции соотношением `F_"тр"=mu*N_2`. Отсюда

    `mu=(F_"тр")/(N_2)=(m(3cosalpha-2)sinalpha)/(M+m(3cosalpha-2)cosalpha)~~0,033`.

      


  • 1.4. Ускорение при неравномерном движении по окружности

    При неравномерном движении по окружности изменяется со временем не только направление вектора `vecv` скорости, но и его модуль `v`. В этом случае приращение `Deltavecv` вектора скорости (рис. 6) может быть представлено в виде суммы двух взаимно перпендикулярных составляющих `Deltavecv=Deltavecv_tau+Deltavecv_n`, где `Deltavecv_tau` - составляющая приращения скорости, сонаправленная с вектором скорости `vecv` и обусловленная приращением величины вектора  скорости на

    `Deltavecv_tau=Deltav=|Deltavecv|costheta`;          

    вторая составляющая `Deltavecv_n` - нормальная (нами уже изучена), обусловлена (как и прежде) поворотом вектора скорости. Тогда, естественно, и ускорение можно представить в виде суммы  касательной  (тангенциальной) и нормальной составляющих:  

    `veca=(Deltavecv)/(Deltat)=(Deltavecv_tau)/(Deltat)+(Deltavecv_n)/(Deltat)=veca_tau+veca_n`.                                                (8)

    Для проекций вектора ускорения на  касательное и нормальное направления справедливы соотношения: 

    `a_tau=(Deltav)/(Deltat)`,  `Deltat->0`,

    `a_n=omega*v=(v^2)/R`.                                                                (9)

    Отметим, что касательная составляющая `a_tau` ускорения определяется скоростью изменения модуля вектора скорости, в свою очередь, нормальная (радиальная) составляющая `a_n` связана с угловой скоростью вращения вектора скорости. По теореме Пифагора    

    `a=|veca|=sqrt(a_tau^2+a_n^2)`.                                                               (10)

    Отметим, что движение по произвольной криволинейной траектории может быть представлено как последовательность перемещений по элементарным дужкам окружностей. Тогда соотношения (9), (10) справедливы и при неравномерном движении материальной точки по произвольной криволинейной траектории, при этом величину `R` в формуле (9) для `a_n` называют радиусом кривизны траектории в рассматриваемой точке. Иначе говоря, это радиус элементарной дужки окружности, с которой в первом приближении совпадает траектория материальной точки в малой окрестности того места, где эта точка  в данный момент находится.

    В заключение отметим, что при неравномерном движении по окружности угловая скорость `omega` зависит от времени. Скорость изменения `omega` со временем называют угловым ускорением `varepsilon`,  которое вводится по формуле:

    `varepsilon=(Deltaomega)/(Deltat)`  (при `Deltat->0`).                                                        (11)

    Если угловое ускорение постоянно, то зависимость угла поворота радиус-вектора от времени (по аналогии с кинематикой равнопеременного движения по прямой) принимает вид:

    `varphi(t)=varphi_0+omega_0*t+(varepsilon*t^2)/2`.

    Из (9) и (11) следует, что тангенциальная составляющая `a_tau` ускорения материальной точки и угловое ускорение `varepsilon` связаны соотношением

    `a_tau=(Deltav)/(Deltat)=R*(Deltaomega)/(Deltat)=R*varepsilon`.                                         (12)

    Пример 4

    Материальная точка движется по окружности радиуса `R` с постоянным угловым ускорением `varepsilon`. Найдите зависимости от  времени величин скорости `v` и ускорения `a`.  В начальный момент времени точка покоилась.

    Решение

    Так как угловое ускорение постоянно, то угловая скорость будет увеличиваться со временем по линейному закону

    `omega(t)=omega(0)+varepsilon*t=varepsilon*t`.                                                        (13)

    Из (3) с учётом (13) находим

    `v(t)=R*omega(t)=R*varepsilon*t`.

    Далее из соотношений (9), (12) и (13) находим проекции вектора ускорения на направления: тангенциальное `a_tau=R*varepsilon`, нормальное `a_n=omega^2R=(varepsilon*t)^2R`  и величину (модуль) ускорения 

    `a=sqrt(a_tau^2+a_n^2)=varepsilon*R*sqrt(1+varepsilon^2t^4)`.     

    Пример 5

    Камень  брошен со скоростью `v_0` под углом `alpha` к горизонту. В малой окрестности точки старта найдите радиус `R` кривизны траектории и угловую скорость `omega` вращения вектора скорости.

    Решение

    Для решения задачи воспользуемся соотношениями

              `R=(v^2)/(a_n)`,   `omega=(a_n)/v`  (см. (9)).

    В  малой окрестности точки старта (рис. 7) `v=v_0`, нормальное ускорение `a_n` есть проекция ускорения свободного падения `vecg` на нормаль к траектории `a_n=g*cosalpha.`         

    Из  приведённых  соотношений находим

    `R=(v_0^2)/(gcosalpha)`,  `omega=(gcosalpha)/(v_0`.



  • 1.3. Ускорение при равномерном движении по окружности

    По определению ускорение `veca` материальной точки есть векторная величина, равная  отношению приращения вектора скорости ко време-ни, за которое произошло это приращение:

    `veca(t)=(vecv(t+Deltat)-vecv(t))/(Deltat)=(Deltavecv)/(Deltat)`    (при `Deltat->0`).                     (5)

    Найдём величину и направление ускорения `veca` точки при равномерном движении по окружности. Допустим, что при этом движении радиус-вектор  точки  за  время  от  `t` до `t+Deltat` совершил  поворот  на  угол `Deltavarphi` (рис. 3). Из равнобедренного треугольника, иллюстрирующего соотношение `Deltavecv=vecv(t+Deltat)-vecv(t)`, найдём величину приращения вектора скорости, обусловленного только изменением направления (вращением) вектора скорости: 

    `|Deltavecv|=2*v*sin  (Deltavarphi)/2=v*Deltavarphi`.

    Здесь учтено, что при малых аргументах, т. е. при `|x|< <1`, выполняется приближённое равенство `sinx~~x`, где `x` выражен в радианной мере. Тогда из соотношения (5) находим  величину `a` вектора  ускорения точки при равномерном  движении по окружности:

    `a=|veca(t)|=(|Deltavecv|)/(Deltat)=(v*Deltavarphi)/(Deltat)=v*omega`.

    С учётом (3) и (4) последнее соотношение можно также представить в виде 

    `a=omega*v=(v^2)/R=omega^2R=4*pi^2*v^2*R=(4pi^2)/T^2*R`.                                 (6)

    Установим направление вектора `veca`. Из (5) следует, что ускорение `veca` и приращение `Deltavecv` скорости – сонаправленные векторы. При `Deltat->0` угол `Deltavarphi->0` и `alpha=(pi/2-(Deltavarphi)/2)->pi/2` (рис. 3), следовательно, в любой момент времени векторы `vecv` и `veca` взаимно перпендикулярны, при этом вектор ускорения направлен по радиусу к центру окружности и с радиус-вектором `vecr(t)` точки связан соотношением  (рис. 4):                                                                                               

    `veca(t)=-omega^2*vecr(t)`.                                                           (7)

    Так как вектор ускорения  направлен к центру  окружности, то такое ускорение называют центростремительным  (радиальным, нормальным, т. е. направленным по внутренней нормали к траектории). Подчеркнём, что величина центростремительного  ускорения (как видно из вывода) связана с угловой скоростью вращения  вектора скорости.     

    Сформулируем вывод.

    Вывод

    движение точки по окружности с постоянной по величине скоростью есть движение ускоренное, при этом вектор ускорения в любой момент  времени направлен к центру окружности, а  его величина постоянна и определяется из (6).

    Пример 3

    Найдите скорость `vecv` и ускорение `veca` точек земной поверхности на широте `varphi=60^@`, обусловленные участием в суточном вращении Земли. Радиус Земли `R=6400` км.

    Решение

    Выберем указанную на  рисунке 5 систему отсчёта. Начало отсчёта поместим в центр Земли, плоскость `xy` совпадает с плоскостью экватора, ось `z` совпадает с осью вращения планеты. В выбранной системе отсчёта любая точка земной поверхности на широте `varphi` движется равномерно по окружности  радиуса `r=Rcosvarphi` (на рисунке 5 показана пунктиром) с  периодом  в  одни  сутки, т. е. `T=86400` с. Скорость любой точки на-правлена по касательной к такой окружности, а ускорение к её центру. Величины   векторов  скорости   ускорения найдём из (3) и (6):     

    `v=(2pir)/T=(2piRcosvarphi)/T~~230` м/с,

    `a=omega^2r=((2pi)/T)^2 Rcosvarphi~~0,017  "м"//"c"^2`.

  • 1.2. Равномерное движение по окружности. Период и частота обращения

    Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью называют равномерным движением по окружности. Из (3) следует, что при таком движении угловая скорость `omega` тоже постоянна. В этом случае её называют также циклической частотой.

    Для описания равномерного движения по окружности наряду с циклической частотой `omega` удобно использовать период обращения  `T`, определяемый как время, в течение которого совершается один полный оборот, и частоту `nu` обращения `nu=1/T`, которая численно равна числу оборотов радиус-вектора точки за единицу времени. В связи с этим говорят, что частота  измеряется в оборотах в секунду.

    Из определения (2) угловой скорости следует, что при равномерном движении по окружности величины `omega`, `T` и `nu` связаны соотношениями

    `omega=(2pi)/T=2pinu`.                                                                   (4)

    Размерности `omega` и `nu` одинаковы (`1//"с"`), так как эти величины различаются лишь числовым множителем `2pi`.

    Рассмотрим два примера, иллюстрирующих применение введённых величин.

    Пример 1

    Считая, что Земля движется вокруг Солнца по круговой орбите радиуса `R=150` млн км, найдите линейную скорость `v` Земли в её годичном движении вокруг Солнца.

    Решение

    Будем считать, что Земля совершает один полный оборот вокруг Солнца за `365` суток. Тогда период обращения Земли `T=3,15*10^7` с. Далее из (3) и (4) находим

    `v=(2pi)/T R=(2*3,14)/(3,15*10^7)*150*10^9~~30*10^3` м/с.

    Пример 2

    Рельсы игрушечной железной дороги образуют кольцо радиуса `R`. Вагончик `M` перемещается по рельсам, подталкиваемый стержнем `AB`, который вращается с постоянной угловой скоростью `omega_1` вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку `A`,которая лежит внутри кольца почти у самых рельсов (рис. 2). Как зависит от времени линейная скорость `v(t)` вагончика? Считайте `0<=varphi_1<pi//2`.   

    Решение

    Будем считать, что угол `varphi_1` отсчитывается от направления, задаваемого радиусом `AO` (точка `O` - центр окружности, по которой движется вагончик). Стержень вращается с постоянной угловой скоростью `omega_1`, следовательно, угол `varphi_1` растёт со временем по линейному закону `varphi_1=omega_1t`. Найдём зависимость от времени `t` угла `varphi` поворота радиус-вектора вагончика. Для этого заметим, что треугольник `AOM` равнобедренный, тогда `/_OAM=varphi_1`. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных, отсюда  `varphi=2varphi_1=2omega_1t`. Заметим, что угол `varphi(t)` растёт со временем по линейному закону и что  угловая скорость `omega` вагончика при движении по рельсам постоянна и вдвое больше угловой скорости `omega_1`, с которой вращается стержень, т. е. `omega=2omega_1`. Следовательно, вагончик движется по окружности равномерно, его линейная скорость от времени не зависит и равна  

    `v=omega*R=2*omega_1*R`.

  • 1.1. Линейная и угловая скорости

    Важным частным случаем движения материальной точки по заданной траектории является движение по окружности. Рассмотрим движение  материальной  точки  `M`  по  окружности  радиуса `R`  с центром в точке `O`.

    В произвольный момент времени `t` положение точки на окружности однозначно определяется углом `varphi(t)`, который радиус-вектор `vecr(t)` точки `M` образует с направлением     начала     отсчёта    углов (рис. 1). Таким  направлением  будем считать направление `OA`. Другим способом задания положения точки на окружности является задание длины `S(t)` дуги `AM`. Оба способа задания  положения точки на окружности эквивалентны, так как угловая `varphi(t)` и дуговая `S(t)` координаты связаны определением радианной меры угла:

    `varphi(t)=(S(t))/R`.

    Рассмотрим перемещение `Deltavecr=vecvDeltat` точки `M` при движении по окружности за малый промежуток времени `Deltat`. Это перемещение стягивается дугой длиной `DeltaS~~|Deltavecr|=|vecv|Deltat`, а радиус-вектор точки `M` поворачивается при этом на угол `Deltavarphi`. На такой же угол поворачивается и вектор скорости, так как скорость  `vecv` перпендикулярна `vecr` - радиус-вектору точки, т. к. направлена по касательной к окружности.

    Линейной скоростью `v(t)` точки называют отношение длины `DeltaS` дуги   ко времени `Deltat` перемещения (при `Deltat -> 0`):

     `v(t)=(DeltaS)/(Deltat)`.                                                                          (1)

    Линейная скорость точки есть модуль (величина) вектора скорости. В системе СИ линейную скорость измеряют в м/с (метр в секунду).

    Угловой скоростью `omega(t)` радиус-вектора точки называют отношение угла `Deltavarphi` поворота радиус-вектора ко времени `Deltat`, за которое этот поворот был совершён (при `Deltat -> 0`),

    `omega(t)=(Deltavarphi)/(Deltat)`.                                                                         (2)

    С такой же угловой скоростью вращается и вектор скорости точки, так как линейная скорость `vecv_|_vecr` - радиус-вектору точки. В системе СИ угловую скорость измеряют в рад/с (радиан в секунду).


    Следует отметить, что в учебных пособиях угловую скорость радиуса-вектора точки часто называют просто угловой скоростью, а в качестве единицы измерения угловой скорости указывают `1//"c"` (обратную секунду, `"с"^(-1)`); последнее обусловлено тем, что радиан – величина безразмерная.

    Замечая, что `Deltavarphi(t)=(DeltaS(t))/R`, приходим с учётом (1) и (2) к соотношению, связывающему линейную `v(t)` и угловую `omega(t)` скорости при произвольном движении материальной точки по окружности радиуса `R`:

     `v(t)=omega(t)*R`.                                                                    (3)


  • §6. Построение изображений, даваемых тонкой линзой

    На оптических схемах линзы принято обозначать в виде отрезка со стрелками на концах. У собирающих линз стрелки направлены наружу, а у рассеивающих – к центру отрезка.

    Рассмотрим порядок построения изображений, которые создаёт собирающая линза (рис. 6.1).

    Поместим слева от линзы на расстоянии, большем фокусного, вертикальную стрелку (предмет) ABAB. Из точки BB пустим на линзу луч (1) параллельно главной оптической оси. Преломившись, этот луч пройдёт через задний фокус вправо и вниз. Второй луч пустим через передний фокус. Преломившись в линзе, он пойдёт вправо параллельно главной оптической оси. Существует точка B1B_1 в которой оба луча пересекутся. B1B_1 есть изображение точки BB. Любой другой луч, вышедший из BB и прошедший сквозь линзу, также должен прийти в точку B1B_1 . Аналогичным образом построим изображение точки AA. Итак, мы построили изображение предмета ABAB в тонкой линзе. Из рис. 6.1 видно что:

    1) изображение стрелки действительное (если на место изображения стрелки поместить плоский экран, то на нём можно увидеть её изображение);

    2) изображение перевёрнутое (относительно самой стрелки). Как сама стрелка ABAB, так и её изображение A1B1A_1B_1  перпендикулярны главной оптической оси.

    Отметим два достаточно общих свойства тонкой линзы:

    прямую линию линза отображает в прямую;

     если плоский предмет перпендикулярен главной оптической оси, то и его изображение будет перпендикулярным этой оси.

    Вообще же, углы у протяжённых предметов, расположенных вдоль главной оптической оси, и углы у их изображений различны. Это видно из рис. 6.2. Квадрат ABCDABCD линза «превратила» в трапецию A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1.


    Если справа и слева от тонкой линзы находится одна и та же среда (обычно это воздух), то для построения изображения заданной точки может оказаться полезным ещё один «замечательный» луч – тот, который идёт через центр линзы. На рис. 6.1 он помечен как луч (3). Проходя через линзу, он не меняет своего направления и так же, как и первые два луча, приходит в точку B1B_1. Иногда такой луч, проходящий через центр линзы, за его «несгибаемость» называют побочной оптической осью.

    Теперь построим изображение предмета ABAB в рассеивающей линзе. Для этого пустим луч из точки BB параллельно главной оптической оси. Преломившись в линзе, он пойдёт вверх так, как будто был испущен из фокуса и шёл не преломляясь (рис. 6.3).

    Воображаемую часть луча от фокуса до линзы обозначим пунктирной линией. Другой луч пустим через оптический центр ОО линзы. Изображение B1B_1 точки BB будет лежать на пересечении этого луча с воображаемой (пунктирной линией). Изображение точки AA лежит на пересечении вертикальной линии, проходящей через B1B_1, с главной оптической осью.


  • §5. Формула тонкой рассеивающей линзы

    Рассмотрим двояковогнутую рассеивающую линзу. ОХОХ – её главная оптическая ось. Предположим, что точечный источник света S1S_1 расположен на этой оси. Как и в предыдущем параграфе, проведём из точки S1S_1 два луча. Один – вдоль главной оптической оси, а другой – под углом к ней в точку MM линзы, отстоящую от главной оптической оси на расстоянии hh (рис. 5.1). Преломившись в линзе, этот луч будет ещё сильнее удаляться от главной оптической оси. Если его продолжить обратно, за линзу, то он пересечёт главную оптическую ось в некоторой точке S2S_2, называемой изображением источника S1S_1. Поскольку изображение получено в результате мысленного, воображаемого пересечения лучей, то и называют его мнимым.

    Легко видеть, что угол φ2\varphi_2 является внешним для треугольника S1MS2S_1MS_2. По теореме о внешнем угле треугольника

    φ1+δ=φ2.(5.1)\varphi_1 + \delta = \varphi_2. \:\:\:\:\: (5.1)

    Фрагмент линзы, в окрестности точки ММ через которую прошёл рассматриваемый луч, можно рассматривать как тонкий клин. Смещая источник S1S_1 вдоль главной оптической оси и, удаляя его на бесконечность, мы добьёмся того, что луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе пройдёт через её фокус, а угол отклонения будет равен 

    δhF,5.2 \delta \approx \dfrac{h}{F}, \:\:\:\:\: \left(5.2\right)

    где FF – фокусное расстояние линзы. Мы по-прежнему считаем, что углы, которые рассматриваемый луч образует с главной оптической осью линзы, малы. Тогда 

    φ1ha,φ2hb.5.3\varphi_1 \approx \dfrac{h}{a},\:\:\: \varphi_2 \approx \dfrac{h}{b}. \:\:\:\:\: \left(5.3\right)

    Подставим выражения (5.2) и (5.3) для углов в формулу (5.1). После сокращения на общий множитель hh получим:

    1a+1F=1b.5.4\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{b}. \:\:\:\:\: \left(5.4\right)

    Обычно выражение (5.4) записывают в несколько ином виде:

    1a- 1b=-1F.5.5\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = -\dfrac{1}{F}. \:\:\:\:\: \left(5.5\right)

    Мы получили формулу так называемой тонкой рассеивающей линзы. В качестве расстояний a,b,Fa, b, F берутся их арифметические значения. 

  • §4. Формула тонкой собирающей линзы

    Рассмотрим двояковыпуклую собирающую линзу. Прямая ОХОХ, проходящая через центры кривизны преломляющих поверхностей линзы, называется её главной оптической осью (сравните это определение с определением из §3 для плосковыпуклой линзы). Предположим, что точечный источник света S1S_1 расположен на этой оси. Проведём из точки S1S_1 два луча. Один – вдоль главной оптической оси, а другой – под углом φ1\varphi_1 к ней, в точку MM линзы, отстоящую от главной оптической оси на расстоянии hh (рис. 4.1). Преломившись в линзе, этот луч пересечёт главную оптическую ось в некоторой точке S2S_2, которая есть изображение источника S1S_1.

    Предположим, что углы, которые рассматриваемый луч образует с главной оптической осью линзы, малы. Тогда

    φ1ha,φ2 hb.4.1\varphi_1 \approx \dfrac{h}{a}, \:\:\:\:\: \varphi_2 \approx  \dfrac{h}{b}. \:\:\:\:\: \left(4.1\right)

    Легко видеть, что угол отклонения δ\delta является внешним для треугольника S1MS2S_1MS_2. По теореме о внешнем угле треугольника

    φ1+φ2=δ.(4.2)\varphi_1 + \varphi_2 = \delta. \:\:\:\:\: (4.2)

    Фрагмент линзы в окрестности точки ММ, через которую прошёл рассматриваемый луч, можно считать тонким клином. Ранее мы показали, что для тонкого клина угол отклонения есть величина постоянная и не зависит от угла падения. Значит, сместив источник S1S_1 вдоль главной оптической оси и удалив его на бесконечность, мы добьёмся того, что после прохождения линзы луч пройдёт через её фокус, а угол отклонения будет

    δhF.4.3\delta \approx \dfrac{h}{F}. \:\:\:\:\: \left(4.3\right)

    Здесь FF – фокусное расстояние линзы. Подставим выражения (4.1) и (4.3) в формулу (4.2). После сокращения на множитель hh получим:

    1a+1b=1F.4.4\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{F}. \:\:\:\:\: \left(4.4\right)

    Мы получили формулу тонкой собирающей линзы. Не забудьте, что она получена в параксиальном приближении (для малых углов φ1,φ2,δ\varphi_1, \varphi_2, \delta). Первенство в выводе этой формулы приписывают замечательному французскому естествоиспытателю Рене Декарту.

    Обычно предметы или источники света изображают слева от линзы.

    задача 4.1 

    Найдите фокусное расстояние FF линзы, составленной из двух собирающих линз с фокусными расстояниями F1F_1 и F2F_2. Линзы прижаты вплотную одна к другой, а их главные оптические оси совпадают.

    Решение

    Линзу, составленную из двух плотно прижатых друг к другу тонких линз, тоже можно считать тонкой собирающей линзой, а это значит, что и для неё справедлива формула (4.4). Поместим точечный источник света S1S_1 в переднем фокусе первой линзы. Для составной линзы a=F1a = F_1. Лучи, испущенные S1S_1, после прохождения первой линзы пойдут параллельно её главной оптической оси. Но рядом находится вторая линза. Пучок параллельных лучей, падающих на вторую линзу, сойдётся в её заднем фокусе (точка S2S_2) на расстоянии F2F_2. Для составной линзы расстояние b=F2b=F_2. Выполнив соответствующие подстановки в (4.4), получим:

    1F1+1F2=1F.4.5\dfrac{1}{F_1} + \dfrac{1}{F_2} = \dfrac{1}{F}. \:\:\:\:\: \left(4.5\right)

    Это соотношение можно выразить через оптические силы линз:

    P1+P2=P.(4.5)P_1+P_2 = P. \:\:\:\:\: (4.5)

    Мы получили очень важный результат – оптическая сила системы линз, плотно прижатых друг к другу, равна сумме их оптических сил.