Авторы учебных материалов Колесникова Софья Ильинична
- Место работы кафедра высшей математики МФТИ
24 декабря 2020 - 31 января 2021
0 лекций
287 учеников
13 декабря 2020 - 20 января 2021
0 лекций
1612 учеников
1 октября 2020 - 31 октября 2020
0 лекций
332 ученика
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
1 октября 2020 - 31 октября 2020
0 лекций
292 ученика
1 июля 2020 - 25 сентября 2020
0 лекций
4 ученика
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
1 июля 2020 - 12 октября 2020
0 лекций
4 ученика
1 июля 2020 - 25 сентября 2020
0 лекций
1747 учеников
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
1 июля 2020 - 12 октября 2020
0 лекций
1730 учеников
12 декабря 2019 - 9 января 2020
0 лекций
47 учеников
12 декабря 2019 - 9 января 2020
0 лекций
15 учеников
11 декабря 2019 - 20 января 2020
0 лекций
313 учеников
11 декабря 2019 - 11 марта 2020
0 лекций
234 ученика
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
1 октября 2019 - 26 октября 2019
0 лекций
271 ученик
1 октября 2019 - 25 октября 2019
0 лекций
324 ученика
12 июля 2019 - 30 сентября 2019
0 лекций
49 учеников
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
11 июля 2019 - 30 сентября 2019
0 лекций
24 ученика
1 июля 2019 - 21 октября 2019
0 лекций
240 учеников
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
1 июля 2019 - 26 сентября 2019
0 лекций
452 ученика
12 декабря 2018 - 9 января 2019
0 лекций
202 ученика
4 октября 2018 - 25 января 2019
0 лекций
281 ученик
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
4 октября 2018 - 25 января 2019
0 лекций
340 учеников
12 июля 2018 - 30 сентября 2018
0 лекций
209 учеников
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
11 июля 2018 - 30 сентября 2018
0 лекций
235 учеников
10 июня 2020 г.
Литература
С. И. Колесникова «Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному экзамену». Москва, Айрис – Пресс.
«Решение сложных задач Единого Государственного экзамена» Москва, Айрис – Пресс или «Вако»,...
369 просмотров
4 июня 2020 г.
Литература
С. И. Колесникова «Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному экзамену». Москва, Айрис – Пресс.
«Решение сложных задач Единого Государственного экзамена» Москва, Айрис – Пресс или «Вако», 2...
1 комментарий
375 просмотров
2 июня 2020 г.
§4. Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...
93 просмотра
2 июня 2020 г.
§2. Логарифмирование и потенцирование
При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения $$ f\left(x\right)=g\left(x\right)$$ по о...
92 просмотра
2 июня 2020 г.
§1. Введение
Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.
В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел $$ a$$ и $$ b$$ и любых действительных чисел $$ \alpha $$ и $$ \beta $$ справедливы свойства:
свойства
...
87 просмотров
2 июня 2020 г.
§3. Показательные уравнения
Из монотонности показательной функции следует, что $$ {a}^{x}={a}^{y}\iff x=y$$.
Из свойств показательной функции следует, что, если $$ a>0$$, $$ a\ne 1$$, то простейшее показательное уравнение $$ {a}^{x}=b$$ при $$ b\le 0$$ не имеет решения, а при...
109 просмотров
2 июня 2020 г.
§5. Сложная экспонента. Уравнение вида $$a(x)^{f(x)} = a(x)^{g(x)} $$
Рассмотрим выражение $$ y\left(x\right)=a(x{)}^{f\left(x\right)}$$. Что это за функция, какова ее область определения?
По определению, полагают, для любого $$ c>0$$, $$ c\ne 1$$, $$ a\left(x\right)>0$$
$$ a(x{)}^{b\left(x\...
85 просмотров
2 июня 2020 г.
§6. Логарифмы с переменным основанием. Уравнения вида $$\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}$$
Рассмотрим выражение $$ y\left(x\right)={\text{log}}_{a}xf\left(x\right)$$.
По определению, для любого $$ c>0$$, $$ c\ne 1$$
$$ {\text{log}}_{a\left(x\right)}f\left(x\right)=\frac{{\text{log}}_{c}f\left(x\right)}{{\text{log}}_{c}a\l...
96 просмотров
2 июня 2020 г.
§7. Показательные неравенства
Рассмотрим неравенство $$ {a}^{f\left(x\right)}>{a}^{g\left(x\right)}$$.
Пусть $$ f\left(x\right)$$ и $$ g\left(x\right)$$ - непрерывные функции на некотором промежутке $$ X$$, где задано число $$ a>0$$. Тогда $$ {a}^{f\left(x\right)}$$, $$ {a}^...
89 просмотров
2 июня 2020 г.
§8. Неравенства вида $$a(x)^{f(x)} \gt a(x)^{g(x)}$$
Рассмотрим неравенство $$ a(x{)}^{f\left(x\right)}>a(x{)}^{g\left(x\right)}$$, где $$ a\left(x\right),f\left(x\right),g\left(x\right)$$ - непрерывные функции. ОДЗ: $$ a\left(x\right)>0$$. Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в каче...
97 просмотров
2 июня 2020 г.
§9. Логарифмические неравенства.
Пусть $$ f\left(x\right)>0$$, $$ f\left(x\right)$$ непрерывна на $$ (c;d)$$, тогда $$ {\text{log}}_{a}f\left(x\right)$$ тоже непрерывен на $$ (c;d)$$, и для решения неравенства $$ {\text{log}}_{a}f\left(x\right)>0$$ применим метод интервалов. При...
84 просмотра
2 июня 2020 г.
§10. Неравенства для логарифмов с переменным основанием
Рассмотрим неравенство $$ {\text{log}}_{a\left(x\right)}f\left(x\right)>0$$, где $$ a\left(x\right)$$, $$ f\left(x\right)$$ непрерывны на промежутке $$ X$$.
ОДЗ: $$ a\left(x\right)>0,a\ne 1,f\left(x\right)>0$$.
Оказывается, что и в это...
87 просмотров
7 декабря 2019 г.
§5. Однородные уравнения и системы
Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`.
Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2` является однородной степени `4`, т. к.
`f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^...
441 просмотр
7 декабря 2019 г.
§4. Системы уравнений
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
381 просмотр
7 декабря 2019 г.
§1. Равносильность уравнений и неравенств
В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.
Два неравенства
`f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)`
(1)
или два уравнения
`f_1 (x) = g_1 (x)` ...
396 просмотров
7 декабря 2019 г.
§2. Система уравнений и неравенств.совокупность уравнений и неравенств.
Пусть задано неравенство$$ f\left(x\right)>g\left(x\right)$$ . По определению, неравенство выполнено, если разность функций $$ f\left(x\right)-g\left(x\right)>0$$. Поэтому, за редким исключением, неравенства будем решать “сравнением с...
417 просмотров
7 декабря 2019 г.
§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения $$ a{x}^{2}+bx+c=0, a\ne 0.$$
`x_(1,2)=(-b/2+-sqrt(b^2/4-ac))/a`.
Она особенно удобна, ко...
383 просмотра
7 декабря 2019 г.
5. Уравнения вида |f(x)| = g(x)
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
$$\begin{array}{l}\left|f\left(x\right)\right|=g\left(x\right)\iff \left[\...
401 просмотр
7 декабря 2019 г.
Уравнения вида $$\sqrt{f(x)}=g(x)$$
При решении уравнений этого вида очень многие школьники, прежде всего, находят ОДЗ: `f(x)>=0`, затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют после нахождения решений условие `f(x)>=0` и успокаиваются. Ответ может оказаться неверн...
378 просмотров
7 декабря 2019 г.
12. Задачи с параметром
Пример 21
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имеет ровно два различных решения.
Решение
Первый способ – решение «в лоб».
Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имел...
1 комментарий
393 просмотра
7 декабря 2019 г.
§2. Иррациональные неравенства
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
5 комментариев
413 просмотров
7 декабря 2019 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
521 просмотр
7 декабря 2019 г.
§1. Понятие равносильности уравнений и неравенств
Пусть на некоторых числовых множествах $$ {Х}_{1}, {Х}_{2}$$ заданы соответственно функции $$ f\left(x\right), g\left(x\right)$$ .
Определение
Отношения вида $$ f\left(x\right)>g\left(x\right)$$, $$f\left(x\right)<g\lef...
3 комментария
417 просмотров
3 июня 2019 г.
§4. Системы уравнений
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
845 просмотров
3 июня 2019 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
954 просмотра
3 июня 2019 г.
§2. Иррациональные неравенства
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
2 комментария
1093 просмотра
3 июня 2019 г.
§1. Равносильность уравнений и неравенств
В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.
Два неравенства
`f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)`
(1)
или два уравнения
`f_1 (x) = g_1 (x)` ...
1291 просмотр
28 мая 2019 г.
5. Уравнения вида |f(x)| = g(x)
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
$$\begin{array}{l}{\left|f(x)\right|=g(x)\Leftrightarrow\left[\begin{array...
1 комментарий
1027 просмотров
28 мая 2019 г.
§4. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что
а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,
б) квадрат двучлена `(x-a)^2`&nbs...
998 просмотров
28 мая 2019 г.
§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения $$ a{x}^{2}+bx+c=0, a\ne 0.$$
`x_(1,2)=(-b/2+-sqrt(b^2/4-ac))/a`.
Она особенно удобна, ко...
1 комментарий
487 просмотров
10 декабря 2018 г.
§10. Неравенства для логарифмов с переменным основанием
Рассмотрим неравенство loga(x)f(x)>0\textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0, где a(x)a(x), f(x)f(x) непрерывны на промежутке XX.
ОДЗ: a(x)>0,a≠1,f(x)>0a(x)>0, a\neq 1, f(x)>0.
Оказывается, что и в этом случае
(УР Л8)
Знак фун...
1134 просмотра
10 декабря 2018 г.
§9. Логарифмические неравенства
Пусть f(x)>0f(x)>0, f(x)f(x) непрерывна на (c;d)(c;d), тогда logaf(x)\textrm{log}_a{f(x)} тоже непрерывен на (c;d)(c;d), и для решения неравенства logaf(x)>0\textrm{log}_a{f(x)}>0 применим метод интервалов. При решении этого неравенства зна...
1 комментарий
1092 просмотра
10 декабря 2018 г.
§8. Неравенства вида $$a(x)^{f(x)} \gt a(x)^{g(x)}$$
Рассмотрим неравенство a(x)f(x)>a(x)g(x)a(x)^{f(x)}>a(x)^{g(x)}, где a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - непрерывные функции. ОДЗ: a(x)>0a(x)>0. Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в качестве cc число ee (можно взять любое допу...
1114 просмотров
10 декабря 2018 г.
§7. Показательные неравенства
Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}.
Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>a...
1 комментарий
1108 просмотров
10 декабря 2018 г.
§6. Логарифмы с переменным основанием. Уравнения вида $$\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}$$
Рассмотрим выражение y(x)=logaxf(x)y(x) = \textrm{log}_a{x}{f(x)}.
По определению, для любого c>0c>0, c≠1c \neq 1
loga(x)fx=logcf(x)logca(x){\text{log}}_{a(x)}f\left(x\right)=\frac{{\text{log}}_c{f(x)}}{{\text{log}}_c{a(x)...
2 комментария
1138 просмотров
10 декабря 2018 г.
§5. Сложная экспонента. Уравнение вида $$a(x)^{f(x)} = a(x)^{g(x)} $$
Рассмотрим выражение y(x)=a(x)f(x)y(x)=a(x)^{f(x)}. Что это за функция, какова ее область определения?
По определению, полагают, для любого c>0c>0, c≠1c\neq 1, a(x)>0a(x)>0
a(x)b(x)=cb(x)logca(x)a(x)^{b(x)} ...
1 комментарий
1218 просмотров
10 декабря 2018 г.
§4. Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...
1234 просмотра
10 декабря 2018 г.
§3. Показательные уравнения
Из монотонности показательной функции следует, что ax=ay⇔x=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y.
Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a≠1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b≤0b \leq 0 не имеет...
1150 просмотров
10 декабря 2018 г.
§1. Введение
Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.
В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства:
свойства
С1. a&#...
1107 просмотров
10 декабря 2018 г.
§2. Логарифмирование и потенцирование
При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения f(x)=g(x)f(x)=g(x) по основанию aa (...
1201 просмотр
9 июля 2018 г.
Введение
В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим.
Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интерв...
1549 просмотров
6 июля 2018 г.
§6. Симметрические системы
Функция `f(x,y)` называется симметрической, если `f(x,y) = f(y,x)`.
Система уравнений вида fx,y=agx,y=b\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=a\\g\left(x,y\right)=b\end{array}\right., где `f(x,y)`, `g(x,y)` - симметрические, называется симметри...
1 комментарий
1691 просмотр
6 июля 2018 г.
§5. Однородные уравнения и системы
Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`.
Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2` является однородной степени `4`, т. к.
`f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^...
1578 просмотров
6 июля 2018 г.
§4. Системы уравнений
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
1939 просмотров
6 июля 2018 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
1775 просмотров
6 июля 2018 г.
§2. Иррациональные неравенства
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
1831 просмотр
6 июля 2018 г.
§1. Равносильность уравнений и неравенств
В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.
Два неравенства
`f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)`
(1)
или два уравнения
`f_1 (x) = g_1 (x)` ...
1829 просмотров
6 июля 2018 г.
Введение
Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - р...
1555 просмотров
6 июля 2018 г.
12. Задачи с параметром
Пример 21
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имеет ровно два различных решения.
Решение
Первый способ – решение «в лоб».
Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имел...
1843 просмотра
6 июля 2018 г.
11. Возвратные уравнения.
определение
Уравнение вида `ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0` называется возвратным.
Чтобы его решить, надо вынести за скобку `x^2`. Тогда выражение в скобке приведётся к квадратному уравнению относительно `x+-1/x`:
`ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0hArrx...
1466 просмотров
6 июля 2018 г.
Уравнение вида `sqrt{ax+b}=cx+d`
Это уравнение можно решать стандартным способом. Но иногда ответить на поставленный вопрос помогает график. Уметь строить эскизы левой и правой частей уравнения `sqrt{ax+b}=cx+d` очень полезно. Графическая интерпретация решения такого уравнен...
1571 просмотр
6 июля 2018 г.
Уравнения вида `sqrt{f(x)}=sqrt{g(x)}`
В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат даёт равносильное в ОДЗ уравнение `f(x)=g(x)`. Поэтому
f(x)=g(x)⇔f(x)≥0,f(x)=g(x)⇔g(x)≥0,f(x)=g(x).\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin...
1571 просмотр
6 июля 2018 г.
Уравнения вида $$\sqrt{f(x)}=g(x)$$
При решении уравнений этого вида очень многие школьники, прежде всего, находят ОДЗ: `f(x)>=0`, затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют после нахождения решений условие `f(x)>=0` и успокаиваются. Ответ может оказаться неверн...
1571 просмотр
6 июля 2018 г.
Уравнения вида $$\alpha^2\sqrt{x+a}+\beta^2\sqrt{x+b}=\mathbf{const}.$$ Монотонность
Пример 14
Решите уравнение 2x-3+4x+1=4.\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4.
Решение
Функция монотонно возрастает на всей области определения – любая горизонтальная прямая, если пересекает график, то только один раз. Этим и воспользуемся. ...
1590 просмотров
6 июля 2018 г.
6, Уравнения вида |f(x)|=|g(x)|
Так как обе части уравнения неотрицательны, то
|f(x)|=|g(x)|⇔f2(x)=g2(x)⇔f2(x)-g2(x)==(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0⇒\begin{array}{l}\vert f(x)\vert=\vert g(x)\vert\Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x)\Leftrightarrow f^2(x)-g^2(x)=\\=(f(x)-g(x)...
2247 просмотров
6 июля 2018 г.
5. Уравнения вида |f(x)| = g(x)
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
f(x)=g(x)⇔f(x)≥0,f(x)=g(x),f(x)<0,f(x)=-g(x).\begin{array...
1 комментарий
1509 просмотров
6 июля 2018 г.
§4. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что
а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,
б) квадрат двучлена `(x-a)^2`&nbs...
1536 просмотров
6 июля 2018 г.
§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0, a≠0.ax^2+bx+c=0,\;a\neq0.
x1,2=-b2±b24-aca.x_{1,2}=\dfrac{-{\displayst...
1577 просмотров
6 июля 2018 г.
§2. Система уравнений и неравенств.совокупность уравнений и неравенств.
Пусть задано неравенствоf(x)>g(x)f(x) > g(x) . По определению, неравенство выполнено, если разность функций f(x)-g(x)>0f(x)-g(x) > 0. Поэтому, за редким исключением, неравенства будем решать “сравнением с нулём” и записыва...
1592 просмотра
5 июля 2018 г.
§1. Понятие равносильности уравнений и неравенств
Пусть на некоторых числовых множествах Х1, Х2Х_1,\;Х_2 заданы соответственно функции f(x), g(x)f(x),\;g(x) .
Определение
Отношения вида f(x)>g(x)f(x)\gt g(x), f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x), f(x)=g(x)f(x)=g(x) называю...
1740 просмотров
28 декабря 2017 г.
§10. Неравенства для логарифмов с переменным основанием
Рассмотрим неравенство loga(x)f(x)>0\textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0, где a(x)a(x), f(x)f(x) непрерывны на промежутке XX.
ОДЗ: a(x)>0,a≠1,f(x)>0a(x)>0, a\neq 1, f(x)>0.
Оказывается, что и в этом случае
Знак функции loga(x)f...
1070 просмотров
28 декабря 2017 г.
§9. Логарифмические неравенства
Пусть f(x)>0f(x)>0, f(x)f(x) непрерывна на (c;d)(c;d), тогда logaf(x)\textrm{log}_a{f(x)} тоже непрерывен на (c;d)(c;d), и для решения неравенства logaf(x)>0\textrm{log}_a{f(x)}>0 применим метод интервалов. При решении этого неравенства зна...
1300 просмотров
28 декабря 2017 г.
§8. Неравенства вида $$a(x)^{f(x)} \gt a(x)^{g(x)}$$
Рассмотрим неравенство a(x)f(x)>a(x)g(x)a(x)^{f(x)}>a(x)^{g(x)}, где a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - непрерывные функции. ОДЗ: a(x)>0a(x)>0. Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в качестве cc число ee (можно взять любое допу...
2049 просмотров
27 декабря 2017 г.
§7. Показательные неравенства
Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}.
Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>a...
2238 просмотров
27 декабря 2017 г.
§6. Логарифмы с переменным основанием. Уравнения вида $$\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}$$
Рассмотрим выражение y(x)=logaxf(x)y(x) = \textrm{log}_a{x}{f(x)}.
По определению, для любого c>0c>0, c≠1 c \neq 1 \:\:\: loga(x)=logcf(x)logca(x)\fbox{ \textrm{log}_{a(x)} = \dfrac{\textrm{log}_c{f(x)}}{\text...
2116 просмотров
27 декабря 2017 г.
§5. Сложная экспонента. Уравнение вида $$a(x)^{f(x)} = a(x)^{g(x)} $$
Рассмотрим выражение y(x)=a(x)f(x)y(x)=a(x)^{f(x)}. Что это за функция, какова ее область определения?
По определению, полагают, для любого c>0c>0, c≠1c\neq 1, a(x)>0 a(x)>0 \:\:\:\:\:
a(x)b(x...
2967 просмотров
27 декабря 2017 г.
§4. Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...
1839 просмотров
26 декабря 2017 г.
§3. Показательные уравнения
Из монотонности показательной функции следует, что ax=ay⇔x=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y.
Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a≠1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b≤0b \leq 0 не имеет...
2173 просмотра
26 декабря 2017 г.
§1. Введение
Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.
В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства:
С1. aα...
2042 просмотра
26 декабря 2017 г.
§2. Логарифмирование и потенцирование
При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения f(x)=g(x)f(x)=g(x) по основанию aa (...
3087 просмотров
Сообщение отправлено!
Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.
