Авторы учебных материалов Колесникова Софья Ильинична
- Место работы кафедра высшей математики МФТИ
12 декабря 2019 - 9 января 2020
0 лекций
32 ученика
12 декабря 2019 - 9 января 2020
0 лекций
5 учеников
11 декабря 2019 - 11 марта 2020
0 лекций
254 ученика
11 декабря 2019 - 20 января 2020
0 лекций
304 ученика
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
1 октября 2019 - 26 октября 2019
0 лекций
323 ученика
1 октября 2019 - 25 октября 2019
0 лекций
304 ученика
12 июля 2019 - 30 сентября 2019
0 лекций
42 ученика
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
11 июля 2019 - 30 сентября 2019
0 лекций
19 учеников
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
1 июля 2019 - 26 сентября 2019
0 лекций
340 учеников
1 июля 2019 - 21 октября 2019
0 лекций
255 учеников
12 декабря 2018 - 9 января 2019
0 лекций
198 учеников
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
4 октября 2018 - 25 января 2019
0 лекций
332 ученика
4 октября 2018 - 25 января 2019
0 лекций
273 ученика
12 июля 2018 - 30 сентября 2018
0 лекций
199 учеников
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
11 июля 2018 - 30 сентября 2018
0 лекций
228 учеников
Чт в 13:21
Литература
С. И. Колесникова «Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному экзамену». Москва, Айрис – Пресс.
«Решение сложных задач Единого Государственного экзамена» Москва, Айрис – Пресс или «Вако», 2...
3 просмотра
7 декабря 2019 г.
§4. Системы уравнений
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
60 просмотров
7 декабря 2019 г.
§5. Однородные уравнения и системы
Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`.
Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2` является однородной степени `4`, т. к.
`f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^...
64 просмотра
7 декабря 2019 г.
§1. Равносильность уравнений и неравенств
В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.
Два неравенства
`f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)`
(1)
или два уравнения
`f_1 (x) = g_1 (x)` ...
65 просмотров
7 декабря 2019 г.
§2. Иррациональные неравенства
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
64 просмотра
7 декабря 2019 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
67 просмотров
3 июня 2019 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
582 просмотра
3 июня 2019 г.
§4. Системы уравнений
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
541 просмотр
3 июня 2019 г.
§1. Равносильность уравнений и неравенств
В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.
Два неравенства
`f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)`
(1)
или два уравнения
`f_1 (x) = g_1 (x)` ...
835 просмотров
3 июня 2019 г.
§2. Иррациональные неравенства
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
2 комментария
680 просмотров
28 мая 2019 г.
§4. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что
а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,
б) квадрат двучлена `(x-a)^2`&nbs...
609 просмотров
28 мая 2019 г.
5. Уравнения вида |f(x)| = g(x)
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
$$\begin{array}{l}{\left|f(x)\right|=g(x)\Leftrightarrow\left[\begin{array...
1 комментарий
612 просмотров
10 декабря 2018 г.
§9. Логарифмические неравенства
Пусть f(x)>0f(x)>0, f(x)f(x) непрерывна на (c;d)(c;d), тогда logaf(x)\textrm{log}_a{f(x)} тоже непрерывен на (c;d)(c;d), и для решения неравенства logaf(x)>0\textrm{log}_a{f(x)}>0 применим метод интервалов. При решении этого неравенства зна...
1 комментарий
781 просмотр
10 декабря 2018 г.
§10. Неравенства для логарифмов с переменным основанием
Рассмотрим неравенство loga(x)f(x)>0\textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0, где a(x)a(x), f(x)f(x) непрерывны на промежутке XX.
ОДЗ: a(x)>0,a≠1,f(x)>0a(x)>0, a\neq 1, f(x)>0.
Оказывается, что и в этом случае
(УР Л8)
Знак фун...
838 просмотров
10 декабря 2018 г.
§7. Показательные неравенства
Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}.
Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>a...
1 комментарий
819 просмотров
10 декабря 2018 г.
§8. Неравенства вида $$a(x)^{f(x)} \gt a(x)^{g(x)}$$
Рассмотрим неравенство a(x)f(x)>a(x)g(x)a(x)^{f(x)}>a(x)^{g(x)}, где a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - непрерывные функции. ОДЗ: a(x)>0a(x)>0. Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в качестве cc число ee (можно взять любое допу...
798 просмотров
10 декабря 2018 г.
§5. Сложная экспонента. Уравнение вида $$a(x)^{f(x)} = a(x)^{g(x)} $$
Рассмотрим выражение y(x)=a(x)f(x)y(x)=a(x)^{f(x)}. Что это за функция, какова ее область определения?
По определению, полагают, для любого c>0c>0, c≠1c\neq 1, a(x)>0a(x)>0
a(x)b(x)=cb(x)logca(x)a(x)^{b(x)} ...
1 комментарий
864 просмотра
10 декабря 2018 г.
§6. Логарифмы с переменным основанием. Уравнения вида $$\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}$$
Рассмотрим выражение y(x)=logaxf(x)y(x) = \textrm{log}_a{x}{f(x)}.
По определению, для любого c>0c>0, c≠1c \neq 1
loga(x)fx=logcf(x)logca(x){\text{log}}_{a(x)}f\left(x\right)=\frac{{\text{log}}_c{f(x)}}{{\text{log}}_c{a(x)...
2 комментария
787 просмотров
10 декабря 2018 г.
§3. Показательные уравнения
Из монотонности показательной функции следует, что ax=ay⇔x=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y.
Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a≠1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b≤0b \leq 0 не имеет...
863 просмотра
10 декабря 2018 г.
§4. Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...
848 просмотров
10 декабря 2018 г.
§2. Логарифмирование и потенцирование
При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения f(x)=g(x)f(x)=g(x) по основанию aa (...
867 просмотров
10 декабря 2018 г.
§1. Введение
Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.
В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства:
свойства
С1. a&#...
822 просмотра
9 июля 2018 г.
Введение
В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим.
Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интерв...
1260 просмотров
6 июля 2018 г.
§5. Однородные уравнения и системы
Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`.
Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2` является однородной степени `4`, т. к.
`f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^...
1234 просмотра
6 июля 2018 г.
§6. Симметрические системы
Функция `f(x,y)` называется симметрической, если `f(x,y) = f(y,x)`.
Система уравнений вида fx,y=agx,y=b\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=a\\g\left(x,y\right)=b\end{array}\right., где `f(x,y)`, `g(x,y)` - симметрические, называется симметри...
1 комментарий
1330 просмотров
6 июля 2018 г.
§4. Системы уравнений
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
1633 просмотра
6 июля 2018 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
1415 просмотров
6 июля 2018 г.
§1. Равносильность уравнений и неравенств
В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.
Два неравенства
`f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)`
(1)
или два уравнения
`f_1 (x) = g_1 (x)` ...
1427 просмотров
6 июля 2018 г.
§2. Иррациональные неравенства
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
1424 просмотра
6 июля 2018 г.
Введение
Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - р...
1173 просмотра
6 июля 2018 г.
11. Возвратные уравнения.
определение
Уравнение вида `ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0` называется возвратным.
Чтобы его решить, надо вынести за скобку `x^2`. Тогда выражение в скобке приведётся к квадратному уравнению относительно `x+-1/x`:
`ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0hArrx...
1139 просмотров
6 июля 2018 г.
12. Задачи с параметром
Пример 21
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имеет ровно два различных решения.
Решение
Первый способ – решение «в лоб».
Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имел...
1426 просмотров
6 июля 2018 г.
Уравнение вида `sqrt{ax+b}=cx+d`
Это уравнение можно решать стандартным способом. Но иногда ответить на поставленный вопрос помогает график. Уметь строить эскизы левой и правой частей уравнения `sqrt{ax+b}=cx+d` очень полезно. Графическая интерпретация решения такого уравнен...
1209 просмотров
6 июля 2018 г.
Уравнения вида $$\sqrt{f(x)}=g(x)$$
При решении уравнений этого вида очень многие школьники, прежде всего, находят ОДЗ: `f(x)>=0`, затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют после нахождения решений условие `f(x)>=0` и успокаиваются. Ответ может оказаться неверн...
1207 просмотров
6 июля 2018 г.
Уравнения вида `sqrt{f(x)}=sqrt{g(x)}`
В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат даёт равносильное в ОДЗ уравнение `f(x)=g(x)`. Поэтому
f(x)=g(x)⇔f(x)≥0,f(x)=g(x)⇔g(x)≥0,f(x)=g(x).\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin...
1201 просмотр
6 июля 2018 г.
Уравнения вида $$\alpha^2\sqrt{x+a}+\beta^2\sqrt{x+b}=\mathbf{const}.$$ Монотонность
Пример 14
Решите уравнение 2x-3+4x+1=4.\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4.
Решение
Функция монотонно возрастает на всей области определения – любая горизонтальная прямая, если пересекает график, то только один раз. Этим и воспользуемся. ...
1231 просмотр
6 июля 2018 г.
5. Уравнения вида |f(x)| = g(x)
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
f(x)=g(x)⇔f(x)≥0,f(x)=g(x),f(x)<0,f(x)=-g(x).\begin{array...
1 комментарий
1161 просмотр
6 июля 2018 г.
6, Уравнения вида |f(x)|=|g(x)|
Так как обе части уравнения неотрицательны, то
|f(x)|=|g(x)|⇔f2(x)=g2(x)⇔f2(x)-g2(x)==(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0⇒\begin{array}{l}\vert f(x)\vert=\vert g(x)\vert\Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x)\Leftrightarrow f^2(x)-g^2(x)=\\=(f(x)-g(x)...
1597 просмотров
6 июля 2018 г.
§4. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что
а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,
б) квадрат двучлена `(x-a)^2`&nbs...
1135 просмотров
6 июля 2018 г.
§2. Система уравнений и неравенств.совокупность уравнений и неравенств.
Пусть задано неравенствоf(x)>g(x)f(x) > g(x) . По определению, неравенство выполнено, если разность функций f(x)-g(x)>0f(x)-g(x) > 0. Поэтому, за редким исключением, неравенства будем решать “сравнением с нулём” и записыва...
1193 просмотра
6 июля 2018 г.
§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0, a≠0.ax^2+bx+c=0,\;a\neq0.
x1,2=-b2±b24-aca.x_{1,2}=\dfrac{-{\displayst...
1196 просмотров
5 июля 2018 г.
§1. Понятие равносильности уравнений и неравенств
Пусть на некоторых числовых множествах Х1, Х2Х_1,\;Х_2 заданы соответственно функции f(x), g(x)f(x),\;g(x) .
Определение
Отношения вида f(x)>g(x)f(x)\gt g(x), f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x), f(x)=g(x)f(x)=g(x) называю...
1308 просмотров
28 декабря 2017 г.
§10. Неравенства для логарифмов с переменным основанием
Рассмотрим неравенство loga(x)f(x)>0\textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0, где a(x)a(x), f(x)f(x) непрерывны на промежутке XX.
ОДЗ: a(x)>0,a≠1,f(x)>0a(x)>0, a\neq 1, f(x)>0.
Оказывается, что и в этом случае
Знак функции loga(x)f...
730 просмотров
28 декабря 2017 г.
§9. Логарифмические неравенства
Пусть f(x)>0f(x)>0, f(x)f(x) непрерывна на (c;d)(c;d), тогда logaf(x)\textrm{log}_a{f(x)} тоже непрерывен на (c;d)(c;d), и для решения неравенства logaf(x)>0\textrm{log}_a{f(x)}>0 применим метод интервалов. При решении этого неравенства зна...
937 просмотров
28 декабря 2017 г.
§8. Неравенства вида $$a(x)^{f(x)} \gt a(x)^{g(x)}$$
Рассмотрим неравенство a(x)f(x)>a(x)g(x)a(x)^{f(x)}>a(x)^{g(x)}, где a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - непрерывные функции. ОДЗ: a(x)>0a(x)>0. Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в качестве cc число ee (можно взять любое допу...
1712 просмотров
27 декабря 2017 г.
§7. Показательные неравенства
Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}.
Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>a...
1823 просмотра
27 декабря 2017 г.
§6. Логарифмы с переменным основанием. Уравнения вида $$\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}$$
Рассмотрим выражение y(x)=logaxf(x)y(x) = \textrm{log}_a{x}{f(x)}.
По определению, для любого c>0c>0, c≠1 c \neq 1 \:\:\: loga(x)=logcf(x)logca(x)\fbox{ \textrm{log}_{a(x)} = \dfrac{\textrm{log}_c{f(x)}}{\text...
1803 просмотра
27 декабря 2017 г.
§5. Сложная экспонента. Уравнение вида $$a(x)^{f(x)} = a(x)^{g(x)} $$
Рассмотрим выражение y(x)=a(x)f(x)y(x)=a(x)^{f(x)}. Что это за функция, какова ее область определения?
По определению, полагают, для любого c>0c>0, c≠1c\neq 1, a(x)>0 a(x)>0 \:\:\:\:\:
a(x)b(x...
2554 просмотра
27 декабря 2017 г.
§4. Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...
1487 просмотров
26 декабря 2017 г.
§3. Показательные уравнения
Из монотонности показательной функции следует, что ax=ay⇔x=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y.
Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a≠1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b≤0b \leq 0 не имеет...
1844 просмотра
26 декабря 2017 г.
§1. Введение
Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.
В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства:
С1. aα...
1529 просмотров
26 декабря 2017 г.
§2. Логарифмирование и потенцирование
При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения f(x)=g(x)f(x)=g(x) по основанию aa (...
2610 просмотров
Сообщение отправлено!
Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.
