Авторы учебных материалов Колесникова Софья Ильинична
- Место работы кафедра высшей математики МФТИ
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
1 июля 2020 - 12 октября 2020
0 лекций
1614 учеников
1 июля 2020 - 25 сентября 2020
0 лекций
1367 учеников
12 декабря 2019 - 9 января 2020
0 лекций
43 ученика
12 декабря 2019 - 9 января 2020
0 лекций
13 учеников
11 декабря 2019 - 11 марта 2020
0 лекций
232 ученика
11 декабря 2019 - 20 января 2020
0 лекций
306 учеников
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
1 октября 2019 - 26 октября 2019
0 лекций
266 учеников
1 октября 2019 - 25 октября 2019
0 лекций
314 учеников
12 июля 2019 - 30 сентября 2019
0 лекций
48 учеников
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
11 июля 2019 - 30 сентября 2019
0 лекций
23 ученика
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
1 июля 2019 - 26 сентября 2019
0 лекций
397 учеников
1 июля 2019 - 21 октября 2019
0 лекций
233 ученика
12 декабря 2018 - 9 января 2019
0 лекций
201 ученик
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
4 октября 2018 - 25 января 2019
0 лекций
339 учеников
4 октября 2018 - 25 января 2019
0 лекций
280 учеников
12 июля 2018 - 30 сентября 2018
0 лекций
207 учеников
Алгебраические уравнения и неравенства
Математика
11 июля 2018 - 30 сентября 2018
0 лекций
233 ученика
10 июня
Литература
С. И. Колесникова «Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному экзамену». Москва, Айрис – Пресс.
«Решение сложных задач Единого Государственного экзамена» Москва, Айрис – Пресс или «Вако»,...
178 просмотров
4 июня
Литература
С. И. Колесникова «Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному экзамену». Москва, Айрис – Пресс.
«Решение сложных задач Единого Государственного экзамена» Москва, Айрис – Пресс или «Вако», 2...
1 комментарий
175 просмотров
7 декабря 2019 г.
§4. Системы уравнений
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
238 просмотров
7 декабря 2019 г.
§5. Однородные уравнения и системы
Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`.
Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2` является однородной степени `4`, т. к.
`f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^...
226 просмотров
7 декабря 2019 г.
§2. Система уравнений и неравенств.совокупность уравнений и неравенств.
Пусть задано неравенство$$ f\left(x\right)>g\left(x\right)$$ . По определению, неравенство выполнено, если разность функций $$ f\left(x\right)-g\left(x\right)>0$$. Поэтому, за редким исключением, неравенства будем решать “сравнением с...
247 просмотров
7 декабря 2019 г.
§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения $$ a{x}^{2}+bx+c=0, a\ne 0.$$
`x_(1,2)=(-b/2+-sqrt(b^2/4-ac))/a`.
Она особенно удобна, ко...
207 просмотров
7 декабря 2019 г.
5. Уравнения вида |f(x)| = g(x)
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
$$\begin{array}{l}\left|f\left(x\right)\right|=g\left(x\right)\iff \left[\...
220 просмотров
7 декабря 2019 г.
Уравнения вида $$\sqrt{f(x)}=g(x)$$
При решении уравнений этого вида очень многие школьники, прежде всего, находят ОДЗ: `f(x)>=0`, затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют после нахождения решений условие `f(x)>=0` и успокаиваются. Ответ может оказаться неверн...
222 просмотра
7 декабря 2019 г.
12. Задачи с параметром
Пример 21
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имеет ровно два различных решения.
Решение
Первый способ – решение «в лоб».
Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имел...
1 комментарий
230 просмотров
7 декабря 2019 г.
§1. Равносильность уравнений и неравенств
В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.
Два неравенства
`f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)`
(1)
или два уравнения
`f_1 (x) = g_1 (x)` ...
231 просмотр
7 декабря 2019 г.
§2. Иррациональные неравенства
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
4 комментария
230 просмотров
7 декабря 2019 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
332 просмотра
7 декабря 2019 г.
§1. Понятие равносильности уравнений и неравенств
Пусть на некоторых числовых множествах $$ {Х}_{1}, {Х}_{2}$$ заданы соответственно функции $$ f\left(x\right), g\left(x\right)$$ .
Определение
Отношения вида $$ f\left(x\right)>g\left(x\right)$$, $$f\left(x\right)<g\lef...
3 комментария
246 просмотров
3 июня 2019 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
756 просмотров
3 июня 2019 г.
§4. Системы уравнений
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
668 просмотров
3 июня 2019 г.
§1. Равносильность уравнений и неравенств
В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.
Два неравенства
`f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)`
(1)
или два уравнения
`f_1 (x) = g_1 (x)` ...
1088 просмотров
3 июня 2019 г.
§2. Иррациональные неравенства
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
2 комментария
884 просмотра
28 мая 2019 г.
§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения $$ a{x}^{2}+bx+c=0, a\ne 0.$$
`x_(1,2)=(-b/2+-sqrt(b^2/4-ac))/a`.
Она особенно удобна, ко...
1 комментарий
300 просмотров
28 мая 2019 г.
§4. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что
а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,
б) квадрат двучлена `(x-a)^2`&nbs...
808 просмотров
28 мая 2019 г.
5. Уравнения вида |f(x)| = g(x)
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
$$\begin{array}{l}{\left|f(x)\right|=g(x)\Leftrightarrow\left[\begin{array...
1 комментарий
754 просмотра
10 декабря 2018 г.
§9. Логарифмические неравенства
Пусть f(x)>0f(x)>0, f(x)f(x) непрерывна на (c;d)(c;d), тогда logaf(x)\textrm{log}_a{f(x)} тоже непрерывен на (c;d)(c;d), и для решения неравенства logaf(x)>0\textrm{log}_a{f(x)}>0 применим метод интервалов. При решении этого неравенства зна...
1 комментарий
912 просмотров
10 декабря 2018 г.
§10. Неравенства для логарифмов с переменным основанием
Рассмотрим неравенство loga(x)f(x)>0\textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0, где a(x)a(x), f(x)f(x) непрерывны на промежутке XX.
ОДЗ: a(x)>0,a≠1,f(x)>0a(x)>0, a\neq 1, f(x)>0.
Оказывается, что и в этом случае
(УР Л8)
Знак фун...
978 просмотров
10 декабря 2018 г.
§7. Показательные неравенства
Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}.
Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>a...
1 комментарий
957 просмотров
10 декабря 2018 г.
§8. Неравенства вида $$a(x)^{f(x)} \gt a(x)^{g(x)}$$
Рассмотрим неравенство a(x)f(x)>a(x)g(x)a(x)^{f(x)}>a(x)^{g(x)}, где a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - непрерывные функции. ОДЗ: a(x)>0a(x)>0. Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в качестве cc число ee (можно взять любое допу...
956 просмотров
10 декабря 2018 г.
§5. Сложная экспонента. Уравнение вида $$a(x)^{f(x)} = a(x)^{g(x)} $$
Рассмотрим выражение y(x)=a(x)f(x)y(x)=a(x)^{f(x)}. Что это за функция, какова ее область определения?
По определению, полагают, для любого c>0c>0, c≠1c\neq 1, a(x)>0a(x)>0
a(x)b(x)=cb(x)logca(x)a(x)^{b(x)} ...
1 комментарий
1045 просмотров
10 декабря 2018 г.
§6. Логарифмы с переменным основанием. Уравнения вида $$\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}$$
Рассмотрим выражение y(x)=logaxf(x)y(x) = \textrm{log}_a{x}{f(x)}.
По определению, для любого c>0c>0, c≠1c \neq 1
loga(x)fx=logcf(x)logca(x){\text{log}}_{a(x)}f\left(x\right)=\frac{{\text{log}}_c{f(x)}}{{\text{log}}_c{a(x)...
2 комментария
964 просмотра
10 декабря 2018 г.
§3. Показательные уравнения
Из монотонности показательной функции следует, что ax=ay⇔x=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y.
Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a≠1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b≤0b \leq 0 не имеет...
992 просмотра
10 декабря 2018 г.
§4. Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...
1076 просмотров
10 декабря 2018 г.
§2. Логарифмирование и потенцирование
При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения f(x)=g(x)f(x)=g(x) по основанию aa (...
1020 просмотров
10 декабря 2018 г.
§1. Введение
Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.
В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства:
свойства
С1. a&#...
942 просмотра
9 июля 2018 г.
Введение
В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим.
Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интерв...
1388 просмотров
6 июля 2018 г.
§5. Однородные уравнения и системы
Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`.
Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2` является однородной степени `4`, т. к.
`f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^...
1387 просмотров
6 июля 2018 г.
§6. Симметрические системы
Функция `f(x,y)` называется симметрической, если `f(x,y) = f(y,x)`.
Система уравнений вида fx,y=agx,y=b\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=a\\g\left(x,y\right)=b\end{array}\right., где `f(x,y)`, `g(x,y)` - симметрические, называется симметри...
1 комментарий
1492 просмотра
6 июля 2018 г.
§4. Системы уравнений
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
1760 просмотров
6 июля 2018 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
1603 просмотра
6 июля 2018 г.
§1. Равносильность уравнений и неравенств
В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.
Два неравенства
`f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)`
(1)
или два уравнения
`f_1 (x) = g_1 (x)` ...
1610 просмотров
6 июля 2018 г.
§2. Иррациональные неравенства
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
1625 просмотров
6 июля 2018 г.
Введение
Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - р...
1360 просмотров
6 июля 2018 г.
11. Возвратные уравнения.
определение
Уравнение вида `ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0` называется возвратным.
Чтобы его решить, надо вынести за скобку `x^2`. Тогда выражение в скобке приведётся к квадратному уравнению относительно `x+-1/x`:
`ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0hArrx...
1288 просмотров
6 июля 2018 г.
12. Задачи с параметром
Пример 21
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имеет ровно два различных решения.
Решение
Первый способ – решение «в лоб».
Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имел...
1603 просмотра
6 июля 2018 г.
Уравнение вида `sqrt{ax+b}=cx+d`
Это уравнение можно решать стандартным способом. Но иногда ответить на поставленный вопрос помогает график. Уметь строить эскизы левой и правой частей уравнения `sqrt{ax+b}=cx+d` очень полезно. Графическая интерпретация решения такого уравнен...
1372 просмотра
6 июля 2018 г.
Уравнения вида $$\sqrt{f(x)}=g(x)$$
При решении уравнений этого вида очень многие школьники, прежде всего, находят ОДЗ: `f(x)>=0`, затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют после нахождения решений условие `f(x)>=0` и успокаиваются. Ответ может оказаться неверн...
1382 просмотра
6 июля 2018 г.
Уравнения вида `sqrt{f(x)}=sqrt{g(x)}`
В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат даёт равносильное в ОДЗ уравнение `f(x)=g(x)`. Поэтому
f(x)=g(x)⇔f(x)≥0,f(x)=g(x)⇔g(x)≥0,f(x)=g(x).\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin...
1378 просмотров
6 июля 2018 г.
Уравнения вида $$\alpha^2\sqrt{x+a}+\beta^2\sqrt{x+b}=\mathbf{const}.$$ Монотонность
Пример 14
Решите уравнение 2x-3+4x+1=4.\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4.
Решение
Функция монотонно возрастает на всей области определения – любая горизонтальная прямая, если пересекает график, то только один раз. Этим и воспользуемся. ...
1391 просмотр
6 июля 2018 г.
5. Уравнения вида |f(x)| = g(x)
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
f(x)=g(x)⇔f(x)≥0,f(x)=g(x),f(x)<0,f(x)=-g(x).\begin{array...
1 комментарий
1314 просмотров
6 июля 2018 г.
6, Уравнения вида |f(x)|=|g(x)|
Так как обе части уравнения неотрицательны, то
|f(x)|=|g(x)|⇔f2(x)=g2(x)⇔f2(x)-g2(x)==(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0⇒\begin{array}{l}\vert f(x)\vert=\vert g(x)\vert\Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x)\Leftrightarrow f^2(x)-g^2(x)=\\=(f(x)-g(x)...
1925 просмотров
6 июля 2018 г.
§4. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что
а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,
б) квадрат двучлена `(x-a)^2`&nbs...
1300 просмотров
6 июля 2018 г.
§2. Система уравнений и неравенств.совокупность уравнений и неравенств.
Пусть задано неравенствоf(x)>g(x)f(x) > g(x) . По определению, неравенство выполнено, если разность функций f(x)-g(x)>0f(x)-g(x) > 0. Поэтому, за редким исключением, неравенства будем решать “сравнением с нулём” и записыва...
1392 просмотра
6 июля 2018 г.
§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0, a≠0.ax^2+bx+c=0,\;a\neq0.
x1,2=-b2±b24-aca.x_{1,2}=\dfrac{-{\displayst...
1370 просмотров
5 июля 2018 г.
§1. Понятие равносильности уравнений и неравенств
Пусть на некоторых числовых множествах Х1, Х2Х_1,\;Х_2 заданы соответственно функции f(x), g(x)f(x),\;g(x) .
Определение
Отношения вида f(x)>g(x)f(x)\gt g(x), f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x), f(x)=g(x)f(x)=g(x) называю...
1529 просмотров
28 декабря 2017 г.
§10. Неравенства для логарифмов с переменным основанием
Рассмотрим неравенство loga(x)f(x)>0\textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0, где a(x)a(x), f(x)f(x) непрерывны на промежутке XX.
ОДЗ: a(x)>0,a≠1,f(x)>0a(x)>0, a\neq 1, f(x)>0.
Оказывается, что и в этом случае
Знак функции loga(x)f...
885 просмотров
28 декабря 2017 г.
§9. Логарифмические неравенства
Пусть f(x)>0f(x)>0, f(x)f(x) непрерывна на (c;d)(c;d), тогда logaf(x)\textrm{log}_a{f(x)} тоже непрерывен на (c;d)(c;d), и для решения неравенства logaf(x)>0\textrm{log}_a{f(x)}>0 применим метод интервалов. При решении этого неравенства зна...
1086 просмотров
28 декабря 2017 г.
§8. Неравенства вида $$a(x)^{f(x)} \gt a(x)^{g(x)}$$
Рассмотрим неравенство a(x)f(x)>a(x)g(x)a(x)^{f(x)}>a(x)^{g(x)}, где a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - непрерывные функции. ОДЗ: a(x)>0a(x)>0. Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в качестве cc число ee (можно взять любое допу...
1868 просмотров
27 декабря 2017 г.
§7. Показательные неравенства
Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}.
Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>a...
2069 просмотров
27 декабря 2017 г.
§6. Логарифмы с переменным основанием. Уравнения вида $$\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}$$
Рассмотрим выражение y(x)=logaxf(x)y(x) = \textrm{log}_a{x}{f(x)}.
По определению, для любого c>0c>0, c≠1 c \neq 1 \:\:\: loga(x)=logcf(x)logca(x)\fbox{ \textrm{log}_{a(x)} = \dfrac{\textrm{log}_c{f(x)}}{\text...
1944 просмотра
27 декабря 2017 г.
§5. Сложная экспонента. Уравнение вида $$a(x)^{f(x)} = a(x)^{g(x)} $$
Рассмотрим выражение y(x)=a(x)f(x)y(x)=a(x)^{f(x)}. Что это за функция, какова ее область определения?
По определению, полагают, для любого c>0c>0, c≠1c\neq 1, a(x)>0 a(x)>0 \:\:\:\:\:
a(x)b(x...
2745 просмотров
27 декабря 2017 г.
§4. Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...
1653 просмотра
26 декабря 2017 г.
§3. Показательные уравнения
Из монотонности показательной функции следует, что ax=ay⇔x=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y.
Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a≠1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b≤0b \leq 0 не имеет...
1993 просмотра
26 декабря 2017 г.
§1. Введение
Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.
В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства:
С1. aα...
1715 просмотров
26 декабря 2017 г.
§2. Логарифмирование и потенцирование
При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения f(x)=g(x)f(x)=g(x) по основанию aa (...
2819 просмотров
Сообщение отправлено!
Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.
